Zinsrechnung — Sparen und Finanzieren

Aufgabenstellung

Zinsen bestimmen, wie dein Geld wächst — oder wie teuer ein Kredit wird. Löse die folgenden Aufgaben:

• (a) Du legst $3000$ € auf ein Tagesgeldkonto mit $2{,}5 \, \%$ Zinsen pro Jahr. Wie viel Zinsen bekommst du nach einem Jahr?
• (b) Du sparst $5000$ € für $6$ Jahre bei $3 \, \%$ Zinseszins. Wie hoch ist das Endkapital?
• (c) Die 72er-Regel: Bei $4 \, \%$ Zinsen — nach wie vielen Jahren hat sich dein Kapital ungefähr verdoppelt?
• (d) Du nimmst einen Kredit über $8000$ € zu $6{,}9 \, \%$ Zinsen für $3$ Jahre auf (Zinseszins). Wie hoch ist die Rückzahlungssumme?

Lösungsweg

Schritt 1: Einfache Zinsrechnung — Tagesgeld (a)

Zinsformel (einfache Verzinsung für $1$ Jahr):

$Z = K_0 \cdot \frac{p}{100}$

mit $K_0 = 3000$ € und $p = 2{,}5 \, \%$:

$Z = 3000 \cdot \frac{2{,}5}{100}$

$Z = 3000 \cdot 0{,}025$

$\boxed{Z = 75{,}00 \text{ EUR}}$

Nach einem Jahr hast du $3000 + 75 = 3075$ € auf dem Konto.

Schritt 2: Zinseszinsrechnung — Sparanlage (b)

Bei Zinseszins werden die Zinsen jedes Jahr zum Kapital addiert und im nächsten Jahr mitverzinst.

Zinseszinsformel:

$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

mit $K_0 = 5000$ €, $p = 3 \, \%$ und $n = 6$ Jahre:

$K_6 = 5000 \cdot \left(1 + \frac{3}{100}\right)^6$

$K_6 = 5000 \cdot 1{,}03^6$

Wir berechnen $1{,}03^6$:

$1{,}03^2 = 1{,}0609$

$1{,}03^3 = 1{,}0609 \cdot 1{,}03 = 1{,}092727$

$1{,}03^6 = (1{,}03^3)^2 = 1{,}092727^2 \approx 1{,}194052$

$K_6 = 5000 \cdot 1{,}194052$

$\boxed{K_6 \approx 5970{,}26 \text{ EUR}}$

Die Zinsen betragen insgesamt $5970{,}26 - 5000 = 970{,}26$ €. Zum Vergleich: Einfache Verzinsung hätte nur $5000 \cdot 0{,}03 \cdot 6 = 900$ € Zinsen gebracht — der Zinseszins-Effekt bringt $70{,}26$ € zusätzlich.

Schritt 3: Die 72er-Regel — Verdopplungszeit (c)

Die 72er-Regel ist eine Faustformel, um die Verdopplungszeit bei Zinseszins schnell abzuschätzen:

$t_{\text{Verdopplung}} \approx \frac{72}{p}$

Bei $p = 4 \, \%$:

$t \approx \frac{72}{4}$

$\boxed{t \approx 18 \text{ Jahre}}$

Exakte Berechnung zur Kontrolle:

$2 = 1{,}04^n$

$n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} = \frac{0{,}6931}{0{,}0392} \approx 17{,}67 \text{ Jahre}$

Die 72er-Regel liefert mit $18$ Jahren eine sehr gute Näherung (Abweichung nur $0{,}33$ Jahre).

Schritt 4: Kreditkosten — Rückzahlung mit Zinseszins (d)

Die Rückzahlungssumme ergibt sich wieder mit der Zinseszinsformel:

$K_3 = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

mit $K_0 = 8000$ €, $p = 6{,}9 \, \%$ und $n = 3$:

$K_3 = 8000 \cdot 1{,}069^3$

Wir berechnen $1{,}069^3$:

$1{,}069^2 = 1{,}142761$

$1{,}069^3 = 1{,}142761 \cdot 1{,}069 = 1{,}221612$

$K_3 = 8000 \cdot 1{,}221612$

$\boxed{K_3 \approx 9772{,}89 \text{ EUR}}$

Zinskosten des Kredits:

$9772{,}89 - 8000 = 1772{,}89 \text{ EUR}$

Der Kredit kostet dich insgesamt $1772{,}89$ € an Zinsen.

Ergebnis

Aufgabe	Antwort
(a) Zinsen Tagesgeld ($1$ Jahr)	$75{,}00$ €
(b) Endkapital nach $6$ Jahren	$5970{,}26$ €
(c) Verdopplungszeit bei $4 \, \%$	ca. $18$ Jahre (72er-Regel)
(d) Kredit-Rückzahlung	$9772{,}89$ € (Zinskosten: $1772{,}89$ €)