Stochastische Unabhängigkeit prüfen

Aufgabenstellung

Bei einer Umfrage unter $200$ Schülerinnen und Schülern einer Oberstufe wurde erhoben, wer gerne Mathematik und wer gerne Sport mag. Die Ergebnisse:

• $120$ Personen mögen Mathematik.

• $80$ Personen mögen Sport.

• $60$ Personen mögen beides.

• (a) Stellen Sie eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten auf.

• (b) Berechnen Sie $P(\text{Sport} \mid \text{Mathe})$ und vergleichen Sie mit $P(\text{Sport})$.

• (c) Prüfen Sie über $P(M \cap S) = P(M) \cdot P(S)$, ob die Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

• (d) Interpretieren Sie das Ergebnis: Was bedeutet die Abhängigkeit inhaltlich?

Lösungsweg

Schritt 1: Vierfeldertafel aufstellen (a)

Bezeichnungen:

• $M$: „Person mag Mathematik”
• $S$: „Person mag Sport”

Gegeben: $|M| = 120$, $|S| = 80$, $|M \cap S| = 60$, $n = 200$

Daraus:

• $|M \cap \bar{S}| = 120 - 60 = 60$
• $|\bar{M} \cap S| = 80 - 60 = 20$
• $|\bar{M} \cap \bar{S}| = 200 - 120 - 20 = 60$

	$M$ (Mathe)	$\bar{M}$ (nicht Mathe)	Summe
$S$ (Sport)	$60$	$20$	$80$
$\bar{S}$ (nicht Sport)	$60$	$60$	$120$
Summe	$120$	$80$	$200$

Schritt 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit vergleichen (b)

$P(S) = \frac{80}{200} = 0{,}40 = 40\,\%$

$P(S \mid M) = \frac{P(M \cap S)}{P(M)} = \frac{60/200}{120/200} = \frac{60}{120} = 0{,}50 = 50\,\%$

$\boxed{P(S \mid M) = 50\,\% \neq 40\,\% = P(S)}$

Die Wahrscheinlichkeit, Sport zu mögen, ist unter den Mathe-Fans höher als in der Gesamtgruppe.

Schritt 3: Multiplikationsregel prüfen (c)

Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn $P(M \cap S) = P(M) \cdot P(S)$ gilt.

$P(M \cap S) = \frac{60}{200} = 0{,}30$

$P(M) \cdot P(S) = \frac{120}{200} \cdot \frac{80}{200} = 0{,}60 \cdot 0{,}40 = 0{,}24$

$0{,}30 \neq 0{,}24$

$\boxed{\text{Die Ereignisse } M \text{ und } S \text{ sind nicht stochastisch unabhängig.}}$

Die Abweichung beträgt $0{,}30 - 0{,}24 = 0{,}06$, also $6$ Prozentpunkte. Dies ist eine deutliche Abweichung.

Schritt 4: Inhaltliche Interpretation (d)

Die stochastische Abhängigkeit bedeutet: Wer Mathematik mag, mag mit höherer Wahrscheinlichkeit auch Sport ($50\,\%$ statt $40\,\%$). Es gibt also einen positiven Zusammenhang zwischen den beiden Interessen.

Mögliche Erklärungen:

• Beide Interessen könnten eine gemeinsame Ursache haben, etwa eine allgemein hohe Leistungsbereitschaft oder ein Umfeld, das vielfältige Interessen fördert.
• Es könnte auch eine Verzerrung durch die Stichprobe vorliegen (z. B. bestimmte Klassen überrepräsentiert).

Wichtig: Stochastische Abhängigkeit bedeutet nicht zwingend Kausalität — aus dem Zusammenhang allein lässt sich keine Ursache-Wirkungs-Beziehung ableiten.

Ergebnis

Frage	Antwort
$P(S \mid M)$	$\frac{60}{120} = 50\,\%$
$P(S)$	$\frac{80}{200} = 40\,\%$
$P(M \cap S)$ vs. $P(M) \cdot P(S)$	$0{,}30 \neq 0{,}24$
Unabhängigkeit	Nein — positiver Zusammenhang zwischen Mathe und Sport