Trigonometrie in der Praxis — Höhen und Winkel

Aufgabenstellung

Ausgangspunkt

Trigonometrie erlaubt es, Längen und Winkel zu berechnen, die direkt nicht messbar sind. In dieser Aufgabe wenden wir die Grundformeln (SOH-CAH-TOA) sowie den Sinussatz auf drei praxisnahe Situationen an.

Gegeben sind folgende Situationen:

(a) Ein Beobachter steht auf ebenem Gelände genau 50 m vom Fuß eines Turms entfernt. Der Höhenwinkel zur Turmspitze beträgt 62°. Die Augenhöhe des Beobachters wird vernachlässigt.

(b) Ein Satteldach hat auf beiden Seiten dieselbe Neigung. Die Dachneigung beträgt 35° zur Waagerechten. Die halbe Breite des Gebäudes (gemessen ab Firstmitte) beträgt 4,5 m. Gesucht ist die Länge der Dachschräge (von der Traufe bis zum First).

(c) Ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 8\,\mathrm{cm}$, $b = 6\,\mathrm{cm}$ und den rechten Winkel $\gamma = 90°$ (bei Ecke $C$). Berechne alle fehlenden Größen (Seite $c$, Winkel $\alpha$, Winkel $\beta$) und überprüfe das Ergebnis mit dem Sinussatz.

Aufgaben

• (a) Berechne die Höhe des Turms. (3 BE)
• (b) Berechne die Länge der Dachschräge. (3 BE)
• (c) Berechne Seite $c$ und alle Winkel; führe die Sinussatz-Probe durch. (3 BE)

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Lösungsweg

Schritt 1: Turmhöhe berechnen (a)

Skizze: Der Abstand von 50 m ist die Ankathete, die gesuchte Höhe $h$ ist die Gegenkathete, der bekannte Winkel ist $\alpha = 62°$.

Da Gegenkathete und Ankathete beteiligt sind, verwenden wir den Tangens:

$\tan(\alpha) = \frac{GK}{AK} = \frac{h}{50\,\mathrm{m}}$

Umstellen nach $h$:

$h = 50\,\mathrm{m} \cdot \tan(62°)$

Taschenrechner (Grad-Modus!):

$h = 50\,\mathrm{m} \cdot 1{,}8807 \approx 94{,}0\,\mathrm{m}$

Ergebnis: Der Turm ist ungefähr 94,0 m hoch.

Plausibilitätsprüfung: Bei einem Winkel von 45° wäre die Höhe gleich dem Abstand (50 m). Bei 62° (steilerer Blickwinkel) muss die Höhe deutlich größer sein — 94 m ist plausibel. ✓

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Schritt 2: Länge der Dachschräge berechnen (b)

Skizze: Die halbe Gebäudebreite von 4,5 m ist die Ankathete (horizontal), die gesuchte Dachschräge $d$ ist die Hypotenuse, der Neigungswinkel ist $\alpha = 35°$.

Da Ankathete und Hypotenuse beteiligt sind, verwenden wir den Kosinus:

$\cos(\alpha) = \frac{AK}{H} = \frac{4{,}5\,\mathrm{m}}{d}$

Umstellen nach $d$:

$d = \frac{4{,}5\,\mathrm{m}}{\cos(35°)} = \frac{4{,}5\,\mathrm{m}}{0{,}8192} \approx 5{,}49\,\mathrm{m}$

Ergebnis: Die Dachschräge ist ungefähr 5,49 m lang.

Nebenrechnung — Firsthöhe: $h_{\text{First}} = 4{,}5\,\mathrm{m} \cdot \tan(35°) = 4{,}5 \cdot 0{,}7002 \approx 3{,}15\,\mathrm{m}$

Probe mit Pythagoras: $\sqrt{4{,}5^2 + 3{,}15^2} = \sqrt{20{,}25 + 9{,}92} = \sqrt{30{,}17} \approx 5{,}49\,\mathrm{m}$ ✓

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Schritt 3: Vollständiges Dreieck berechnen + Sinussatz-Probe (c)

Gegeben: $a = 8\,\mathrm{cm}$, $b = 6\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 90°$

Seite $c$ — Pythagoras:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\,\mathrm{cm}$

Winkel $\alpha$ — Sinussatz oder Trigonometrie:

Im rechtwinkligen Dreieck (mit $\gamma = 90°$ bei $C$) liegt $\alpha$ an Ecke $A$. Dem Winkel $\alpha$ gegenüber liegt Seite $a = 8\,\mathrm{cm}$, die Hypotenuse ist $c = 10\,\mathrm{cm}$.

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{8}{10} = 0{,}8$

$\alpha = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13°$

Winkel $\beta$ — Winkelsumme:

$\beta = 180° - 90° - 53{,}13° = 36{,}87°$

Sinussatz-Probe:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

$\frac{8}{\sin(53{,}13°)} = \frac{8}{0{,}800} = 10 \qquad \frac{6}{\sin(36{,}87°)} = \frac{6}{0{,}600} = 10 \qquad \frac{10}{\sin(90°)} = \frac{10}{1} = 10 \checkmark$

Alle drei Quotienten ergeben 10 — der Sinussatz ist erfüllt. ✓

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Ergebnis

Teilaufgabe	Ergebnis
(a) Turmhöhe	$h \approx 94{,}0\,\mathrm{m}$
(b) Dachschräge	$d \approx 5{,}49\,\mathrm{m}$
(c) Seite $c$	$c = 10\,\mathrm{cm}$
(c) Winkel $\alpha$	$\alpha \approx 53{,}1°$
(c) Winkel $\beta$	$\beta \approx 36{,}9°$
(c) Sinussatz-Probe	alle Quotienten $= 10$ ✓