Prozentrechnung im Alltag — Rabatte und Preise

Aufgabenstellung

Prozentrechnung begegnet dir jeden Tag — beim Einkaufen, bei Mieterhöhungen oder Rabatten. Löse die folgenden Aufgaben:

• (a) Ein Pullover kostet $89{,}95$ €. Im Sale gibt es $30 \, \%$ Rabatt. Wie viel zahlst du?
• (b) Ein Smartphone kostet nach $15 \, \%$ Rabatt noch $509{,}15$ €. Was war der Originalpreis?
• (c) Die Miete steigt von $650$ € auf $689$ €. Um wie viel Prozent ist sie gestiegen?
• (d) Du bekommst erst $20 \, \%$ Rabatt, dann nochmal $10 \, \%$ auf den reduzierten Preis. Sind das zusammen $30 \, \%$?

Lösungsweg

Schritt 1: Prozentwert berechnen — Pullover-Rabatt (a)

Der Rabatt beträgt $30 \, \%$ vom Originalpreis $89{,}95$ €.

Prozentwert berechnen:

$W = G \cdot \frac{p}{100}$

$W = 89{,}95 \cdot \frac{30}{100} = 89{,}95 \cdot 0{,}30 = 26{,}985$

Reduzierter Preis:

$89{,}95 - 26{,}985 = 62{,}965$

Gerundet auf Cent:

$\boxed{62{,}97 \text{ EUR}}$

Alternativ direkt: $89{,}95 \cdot 0{,}70 = 62{,}965 \approx 62{,}97$ € (du zahlst $70 \, \%$ des Preises).

Schritt 2: Grundwert berechnen — Originalpreis des Smartphones (b)

Nach $15 \, \%$ Rabatt zahlst du noch $85 \, \%$ des Originalpreises. Der reduzierte Preis beträgt $509{,}15$ €.

Grundwert-Formel:

$G = \frac{W \cdot 100}{p}$

Hier ist $W = 509{,}15$ und $p = 85$ (weil $100 \, \% - 15 \, \% = 85 \, \%$):

$G = \frac{509{,}15}{0{,}85}$

$\boxed{G = 599{,}00 \text{ EUR}}$

Probe: $599{,}00 \cdot 0{,}85 = 509{,}15$ € ✓

Schritt 3: Prozentsatz berechnen — Mieterhöhung (c)

Die Miete steigt von $650$ € auf $689$ €.

Differenz:

$689 - 650 = 39 \text{ EUR}$

Prozentsatz-Formel:

$p = \frac{W}{G} \cdot 100$

$p = \frac{39}{650} \cdot 100$

$p = 0{,}06 \cdot 100$

$\boxed{p = 6 \, \%}$

Die Miete ist um $6 \, \%$ gestiegen.

Schritt 4: Doppelter Rabatt — $20 \, \%$ und $10 \, \%$ nacheinander (d)

Nehmen wir einen beliebigen Ausgangspreis, z. B. $100$ €.

Erster Rabatt ($20 \, \%$):

$100 \cdot 0{,}80 = 80{,}00 \text{ EUR}$

Zweiter Rabatt ($10 \, \%$ auf den reduzierten Preis):

$80 \cdot 0{,}90 = 72{,}00 \text{ EUR}$

Tatsächlicher Gesamtrabatt:

$100 - 72 = 28 \text{ EUR}$

$\boxed{p_{\text{gesamt}} = 28 \, \%}$

Nein, es sind nicht $30 \, \%$, sondern nur $28 \, \%$. Der Grund: Der zweite Rabatt bezieht sich auf den bereits reduzierten Preis, nicht auf den Originalpreis.

Allgemein: Zwei aufeinanderfolgende Rabatte von $r_1$ und $r_2$ ergeben den Faktor:

$(1 - r_1) \cdot (1 - r_2) = 0{,}80 \cdot 0{,}90 = 0{,}72$

Das entspricht $28 \, \%$ Rabatt, nicht $30 \, \%$.

Ergebnis

Aufgabe	Antwort
(a) Pullover nach $30 \, \%$ Rabatt	$62{,}97$ €
(b) Originalpreis Smartphone	$599{,}00$ €
(c) Mieterhöhung in Prozent	$6 \, \%$
(d) $20 \, \%$ + $10 \, \%$ Rabatt	$28 \, \%$ Gesamtrabatt (nicht $30 \, \%$)