Normalverteilung — Körpergrößen und IQ-Tests

Aufgabenstellung

Ausgangspunkt

Laut einer aktuellen Studie sind die Körpergrößen von 18-jährigen Männern in Deutschland normalverteilt mit:

$\mu = 178\,\mathrm{cm} \qquad \sigma = 7\,\mathrm{cm}$

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Körpergröße einer zufällig ausgewählten Person in cm. Es gilt also: $X \sim N(178;\ 49)$.

Für die Berechnungen steht eine Tabelle der Standardnormalverteilung ($\Phi$-Tabelle) zur Verfügung. Ausgewählte Werte:

$z$	$\Phi(z)$
1,00	0,8413
1,14	0,8729
1,29	0,9015
1,28	0,8997
2,00	0,9772

Für negative $z$-Werte gilt: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$.

Aufgaben

• (a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person zwischen 170 cm und 185 cm groß ist. (4 BE)
• (b) Ab welcher Körpergröße gehört eine Person zu den größten 10 % der Population? (4 BE)
• (c) In einer Schulklasse mit 28 Schülern: Wie viele Schüler erwartet man im Bereich von 165 cm bis 190 cm? (4 BE)

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Lösungsweg

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit P(170 ≤ X ≤ 185) berechnen (a)

Ziel: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person zwischen 170 cm und 185 cm groß ist.

Standardisierung der Grenzen:

Untere Grenze $x_1 = 170\,\mathrm{cm}$: $z_1 = \frac{x_1 - \mu}{\sigma} = \frac{170 - 178}{7} = \frac{-8}{7} \approx -1{,}14$

Obere Grenze $x_2 = 185\,\mathrm{cm}$: $z_2 = \frac{x_2 - \mu}{\sigma} = \frac{185 - 178}{7} = \frac{7}{7} = 1{,}00$

Wahrscheinlichkeit berechnen:

$P(170 \leq X \leq 185) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1) = \Phi(1{,}00) - \Phi(-1{,}14)$

Aus der Tabelle: $\Phi(1{,}00) = 0{,}8413$

Symmetrieregel: $\Phi(-1{,}14) = 1 - \Phi(1{,}14) = 1 - 0{,}8729 = 0{,}1271$

$P(170 \leq X \leq 185) = 0{,}8413 - 0{,}1271 = 0{,}7142$

Ergebnis: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 71,4 % ist eine zufällig ausgewählte Person zwischen 170 cm und 185 cm groß.

Plausibilitätsprüfung mit der 68-Regel: Das Intervall $[\mu - \sigma;\ \mu + \sigma] = [171;\ 185]$ enthält 68 % der Werte. Unser Intervall $[170;\ 185]$ ist etwas breiter auf der linken Seite — 71,4 % ist also plausibel. ✓

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Schritt 2: Körpergröße der oberen 10 % bestimmen (b)

Ziel: Gesucht ist der Wert $x^*$, sodass $P(X > x^*) = 10\,\% = 0{,}10$.

Umformulierung:

$P(X > x^*) = 0{,}10 \quad \Leftrightarrow \quad P(X \leq x^*) = 0{,}90 \quad \Leftrightarrow \quad \Phi(z^*) = 0{,}90$

$z^*$ aus der Tabelle ablesen:

Aus der $\Phi$-Tabelle: $\Phi(1{,}28) = 0{,}8997 \approx 0{,}90$ und $\Phi(1{,}29) = 0{,}9015$

Wir wählen $z^* \approx 1{,}28$ (da $0{,}8997$ näher an $0{,}90$ liegt als der nächste Tabellenwert).

Rückrechnung in Originalgröße:

$z^* = \frac{x^* - \mu}{\sigma} \quad \Rightarrow \quad x^* = \mu + z^* \cdot \sigma$

$x^* = 178 + 1{,}28 \cdot 7 = 178 + 8{,}96 = 186{,}96\,\mathrm{cm}$

Ergebnis: Ab einer Körpergröße von ca. 187 cm gehört man zu den größten 10 % der Population.

Probe: $z = \frac{187 - 178}{7} = \frac{9}{7} \approx 1{,}29$. $\Phi(1{,}29) = 0{,}9015$, also $P(X > 187) \approx 9{,}9\,\%$ — das stimmt mit 10 % überein. ✓

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Schritt 3: Erwartete Schüleranzahl im Bereich 165–190 cm (c)

Ziel: In einer Klasse mit $n = 28$ Schülern: Wie viele liegen erwartungsgemäß zwischen 165 cm und 190 cm?

Standardisierung:

Untere Grenze $x_1 = 165\,\mathrm{cm}$: $z_1 = \frac{165 - 178}{7} = \frac{-13}{7} \approx -1{,}86$

Obere Grenze $x_2 = 190\,\mathrm{cm}$: $z_2 = \frac{190 - 178}{7} = \frac{12}{7} \approx 1{,}71$

Wahrscheinlichkeit berechnen:

$P(165 \leq X \leq 190) = \Phi(1{,}71) - \Phi(-1{,}86)$

Aus Tabellenwerten (interpoliert bzw. Taschenrechner):

• $\Phi(1{,}71) \approx 0{,}9564$
• $\Phi(-1{,}86) = 1 - \Phi(1{,}86) \approx 1 - 0{,}9686 = 0{,}0314$

$P(165 \leq X \leq 190) = 0{,}9564 - 0{,}0314 = 0{,}9250$

Erwartete Anzahl in der Klasse:

$E = n \cdot p = 28 \cdot 0{,}925 = 25{,}9 \approx 26$

Ergebnis: In einer Klasse mit 28 Schülern erwartet man ca. 26 Schüler im Größenbereich von 165 cm bis 190 cm.

Interpretation: Das entspricht 92,5 % der Schüler — das Intervall $[165; 190]$ umfasst nahezu $[\mu - 1{,}86\sigma;\ \mu + 1{,}71\sigma]$, also etwas mehr als zwei Standardabweichungen auf beiden Seiten. Das ist konsistent mit der 95-%-Regel. ✓

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Ergebnis

Teilaufgabe	Ergebnis
(a) $P(170 \leq X \leq 185)$	$\approx 71{,}4\,\%$
(b) Grenze obere 10 %	$x^* \approx 187\,\mathrm{cm}$
(c) Erwartete Schüleranzahl in $[165; 190]$	$\approx 26$ von 28