Produktionskontrolle — Linksseitiger Signifikanztest

Aufgabenstellung

Ein Hersteller behauptet, dass $80\,\%$ seiner Produkte die Qualitätskontrolle bestehen. Ein Prüfer untersucht eine Stichprobe von $50$ Produkten und stellt fest, dass nur $34$ die Kontrolle bestehen. Es soll auf einem Signifikanzniveau von $\alpha = 5\,\%$ getestet werden, ob der tatsächliche Anteil unter $80\,\%$ liegt.

• (a) Formulieren Sie die Nullhypothese $H_0$ und die Alternativhypothese $H_1$. Begründen Sie die Wahl der Testrichtung. (2 BE)
• (b) Geben Sie die Verteilung der Testgröße $X$ unter $H_0$ an und berechnen Sie Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. (3 BE)
• (c) Bestimmen Sie den kritischen Wert $k$ mithilfe der $\sigma$-Regel (Normalapproximation). (3 BE)
• (d) Treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (2 BE)
• (e) Was würde sich ändern, wenn das Signifikanzniveau auf $\alpha = 1\,\%$ gesenkt wird? (2 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Hypothesen formulieren (a)

Der Prüfer vermutet, dass der tatsächliche Anteil bestandener Produkte geringer ist als die vom Hersteller behaupteten $80\,\%$. Diese Vermutung bildet die Alternativhypothese.

$H_0\colon p \geq 0{,}8 \quad \text{(Der Anteil beträgt mindestens } 80\,\%\text{.)}$

$H_1\colon p < 0{,}8 \quad \text{(Der Anteil liegt unter } 80\,\%\text{.)}$

Da $H_1$ nur Werte unterhalb von $0{,}8$ umfasst, handelt es sich um einen linksseitigen Signifikanztest. Der Ablehnungsbereich liegt am linken Rand der Verteilung.

Schritt 2: Testgröße und Kenngrößen (b)

$X$: Anzahl der Produkte, die die Qualitätskontrolle bestehen, in der Stichprobe von $50$.

Unter $H_0$ (Grenzfall $p = 0{,}8$):

$X \sim B(50;\; 0{,}8)$

Erwartungswert:

$\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}8 = 40$

Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{50 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$

$\boxed{\mu = 40, \quad \sigma \approx 2{,}83}$

Schritt 3: Kritischen Wert bestimmen (c)

Gesucht ist das größte $k$, für das gilt: $P(X \leq k) \leq 0{,}05$ unter $H_0$.

Normalapproximation ($\sigma$-Regel):

Das $5\,\%$-Quantil der Standardnormalverteilung ist $z_{0{,}05} \approx -1{,}645$.

$k = \mu + z_{0{,}05} \cdot \sigma = 40 + (-1{,}645) \cdot 2{,}83 = 40 - 4{,}65 = 35{,}35$

Da $k$ ganzzahlig sein muss, wird abgerundet (linksseitiger Test):

$\boxed{k = 35}$

Entscheidungsregel: $H_0$ wird verworfen, wenn $X \leq 35$.

Schritt 4: Testentscheidung (d)

Beobachteter Wert: $X = 34$.

$34 \leq 35 \quad \checkmark$

Der beobachtete Wert liegt im Ablehnungsbereich.

$\boxed{H_0 \text{ wird verworfen.}}$

Interpretation: Auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt es einen statistisch signifikanten Hinweis darauf, dass der Anteil der Produkte, die die Qualitätskontrolle bestehen, unter $80\,\%$ liegt. Das Ergebnis von nur $34$ bestandenen Produkten bei $50$ geprüften ist mit der Behauptung des Herstellers ($p \geq 0{,}8$) nicht vereinbar.

Schritt 5: Änderung bei $\alpha = 1\,\%$ (e)

Bei $\alpha = 1\,\%$ wird das $1\,\%$-Quantil der Standardnormalverteilung verwendet:

$z_{0{,}01} \approx -2{,}326$

Neuer kritischer Wert:

$k' = \mu + z_{0{,}01} \cdot \sigma = 40 + (-2{,}326) \cdot 2{,}83 = 40 - 6{,}58 = 33{,}42$

$\boxed{k' = 33}$

Neue Entscheidungsregel: $H_0$ wird verworfen, wenn $X \leq 33$.

Vergleich:

Da $X = 34 > 33$: Bei $\alpha = 1\,\%$ liegt $34$ nicht im Ablehnungsbereich.

$\boxed{H_0 \text{ wird bei } \alpha = 1\,\% \text{ nicht verworfen.}}$

Erklärung: Ein strengeres Signifikanzniveau ($\alpha = 1\,\%$ statt $5\,\%$) erfordert stärkere Abweichungen, bevor $H_0$ verworfen wird. Der Ablehnungsbereich wird kleiner, wodurch das Risiko eines Fehlers 1. Art sinkt — gleichzeitig steigt jedoch das Risiko eines Fehlers 2. Art.

Ergebnis

Frage	Antwort
$H_0$ / $H_1$	$H_0\colon p \geq 0{,}8$; $H_1\colon p < 0{,}8$ (linksseitig)
$\mu$ und $\sigma$	$\mu = 40$, $\sigma \approx 2{,}83$
Kritischer Wert $k$ ($\alpha = 5\,\%$)	$k = 35$
Entscheidung ($X = 34$)	$H_0$ wird verworfen (signifikant)
Kritischer Wert $k'$ ($\alpha = 1\,\%$)	$k' = 33$
Entscheidung bei $\alpha = 1\,\%$	$H_0$ wird nicht verworfen