Ist die Münze fair? — Rechtsseitiger Signifikanztest

Aufgabenstellung

Eine Münze wird $100$-mal geworfen. Dabei fällt $61$-mal „Kopf”. Es soll auf einem Signifikanzniveau von $\alpha = 5\,\%$ getestet werden, ob die Münze die Seite „Kopf” bevorzugt.

• (a) Formulieren Sie die Nullhypothese $H_0$ und die Alternativhypothese $H_1$. Begründen Sie die Wahl der Testrichtung. (2 BE)
• (b) Geben Sie die Verteilung der Testgröße $X$ unter $H_0$ an und berechnen Sie Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. (3 BE)
• (c) Bestimmen Sie den kritischen Wert $k$ mithilfe der $\sigma$-Regel (Normalapproximation). (3 BE)
• (d) Treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (2 BE)
• (e) Erklären Sie den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art im Kontext dieser Aufgabe. (2 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Hypothesen formulieren (a)

Die Vermutung lautet, dass die Münze „Kopf” bevorzugt, also $p > 0{,}5$. Diese Vermutung soll nachgewiesen werden und bildet daher die Alternativhypothese.

$H_0\colon p \leq 0{,}5 \quad \text{(Die Muenze ist fair oder bevorzugt Zahl.)}$

$H_1\colon p > 0{,}5 \quad \text{(Die Muenze bevorzugt Kopf.)}$

Da $H_1$ nur Werte oberhalb von $0{,}5$ umfasst, handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Der Ablehnungsbereich liegt am rechten Rand der Verteilung.

Schritt 2: Testgröße und Kenngrößen (b)

$X$: Anzahl der Würfe mit Ergebnis „Kopf” in $100$ Würfen.

Unter $H_0$ (Grenzfall $p = 0{,}5$):

$X \sim B(100;\; 0{,}5)$

Erwartungswert:

$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}5 = 50$

Standardabweichung:

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5$

$\boxed{\mu = 50, \quad \sigma = 5}$

Schritt 3: Kritischen Wert bestimmen (c)

Gesucht ist das kleinste $k$, für das gilt: $P(X \geq k) \leq 0{,}05$ unter $H_0$.

Normalapproximation ($\sigma$-Regel):

Das $95\,\%$-Quantil der Standardnormalverteilung ist $z_{0{,}95} \approx 1{,}645$.

$k = \mu + z_{0{,}95} \cdot \sigma = 50 + 1{,}645 \cdot 5 = 50 + 8{,}225 = 58{,}225$

Da $k$ ganzzahlig sein muss, wird aufgerundet:

$\boxed{k = 59}$

Entscheidungsregel: $H_0$ wird verworfen, wenn $X \geq 59$.

Schritt 4: Testentscheidung (d)

Beobachteter Wert: $X = 61$.

$61 \geq 59 \quad \checkmark$

Der beobachtete Wert liegt im Ablehnungsbereich.

$\boxed{H_0 \text{ wird verworfen.}}$

Interpretation: Auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt es einen statistisch signifikanten Hinweis darauf, dass die Münze die Seite „Kopf” bevorzugt. Das Ergebnis von $61$ Treffern bei $100$ Würfen ist mit einer fairen Münze so unwahrscheinlich, dass die Annahme $p \leq 0{,}5$ verworfen wird.

Schritt 5: Fehler 1. Art und 2. Art (e)

Fehler 1. Art ($\alpha$-Fehler):

Man verwirft $H_0$, obwohl $H_0$ in Wirklichkeit wahr ist.

Im Kontext: Man kommt zu dem Schluss, die Münze sei nicht fair (bevorzuge „Kopf”), obwohl sie in Wirklichkeit fair ist. Die $61$ Treffer wären dann nur durch Zufall entstanden.

Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler beträgt höchstens $\alpha = 5\,\%$.

Fehler 2. Art ($\beta$-Fehler):

Man verwirft $H_0$ nicht, obwohl $H_1$ in Wirklichkeit wahr ist.

Im Kontext: Man behält die Annahme bei, die Münze sei fair, obwohl sie in Wirklichkeit „Kopf” bevorzugt. Der Test erkennt die Abweichung nicht — z. B. weil die tatsächliche Wahrscheinlichkeit nur knapp über $0{,}5$ liegt und die Stichprobe zu klein ist.

Ergebnis

Frage	Antwort
$H_0$ / $H_1$	$H_0\colon p \leq 0{,}5$; $H_1\colon p > 0{,}5$ (rechtsseitig)
$\mu$ und $\sigma$	$\mu = 50$, $\sigma = 5$
Kritischer Wert $k$	$k = 59$
Entscheidung ($X = 61$)	$H_0$ wird verworfen (signifikant)
Fehler 1. Art	Münze als unfair eingestuft, obwohl sie fair ist
Fehler 2. Art	Münze als fair eingestuft, obwohl sie unfair ist