Für k ∈ R k \in \mathbb{R} k ∈ R E k E_k E k
E k : k x 1 + ( 3 − k ) x 2 + 2 x 3 = k E_k\colon kx_1 + (3 - k)x_2 + 2x_3 = k E k : k x 1 + ( 3 − k ) x 2 + 2 x 3 = k
(a) Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar parallel zur x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 (b) Untersuchen Sie, ob es zwei verschiedene Ebenen der Schar gibt, die parallel zueinander sind.
Der Normalenvektor von E k E_k E k n ⃗ k = ( k 3 − k 2 ) \vec{n}_k = \begin{pmatrix} k \\ 3-k \\ 2 \end{pmatrix} n k = k 3 − k 2
Die x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 n ⃗ 0 = ( 0 0 1 ) \vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} n 0 = 0 0 1
Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind, d.h. n ⃗ k = λ n ⃗ 0 \vec{n}_k = \lambda \vec{n}_0 n k = λ n 0 λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ = 0 k = 0 k = 0 k = 0 3 − k = 0 3 - k = 0 3 − k = 0 2 = λ 2 = \lambda 2 = λ k = 3 k = 3 k = 3 k = 0 k = 0 k = 0
Alternativ: Die x 3 x_3 x 3 n ⃗ k \vec{n}_k n k 2 ≠ 0 2 \neq 0 2 = 0 ( k , 3 − k ) (k, 3-k) ( k , 3 − k ) k = 0 k = 0 k = 0 3 − k = 3 ≠ 0 3 - k = 3 \neq 0 3 − k = 3 = 0 n ⃗ k \vec{n}_k n k n ⃗ 0 \vec{n}_0 n 0
Da die x 3 -Komponente von n ⃗ k stets 2 ≠ 0 ist und ( k , 3 − k ) ≠ ( 0 , 0 ) , steht E k nie parallel zur x 1 - x 2 -Ebene. \boxed{\text{Da die } x_3\text{-Komponente von } \vec{n}_k \text{ stets } 2 \neq 0 \text{ ist und } (k, 3-k) \neq (0,0), \text{ steht } E_k \text{ nie parallel zur } x_1\text{-}x_2\text{-Ebene.}} Da die x 3 -Komponente von n k stets 2 = 0 ist und ( k , 3 − k ) = ( 0 , 0 ) , steht E k nie parallel zur x 1 - x 2 -Ebene.
Zwei Ebenen E k 1 E_{k_1} E k 1 E k 2 E_{k_2} E k 2 k 1 ≠ k 2 k_1 \neq k_2 k 1 = k 2 n ⃗ k 1 ∥ n ⃗ k 2 \vec{n}_{k_1} \parallel \vec{n}_{k_2} n k 1 ∥ n k 2 λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ = 0
( k 1 3 − k 1 2 ) = λ ( k 2 3 − k 2 2 ) \begin{pmatrix} k_1 \\ 3-k_1 \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} k_2 \\ 3-k_2 \\ 2 \end{pmatrix} k 1 3 − k 1 2 = λ k 2 3 − k 2 2
Aus der dritten Komponente: 2 = 2 λ ⇒ λ = 1 2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 1 2 = 2 λ ⇒ λ = 1
Erste Komponente: k 1 = k 2 k_1 = k_2 k 1 = k 2 3 − k 1 = 3 − k 2 3 - k_1 = 3 - k_2 3 − k 1 = 3 − k 2
Es gibt keine zwei verschiedenen parallelen Ebenen der Schar. \boxed{\text{Es gibt keine zwei verschiedenen parallelen Ebenen der Schar.}} Es gibt keine zwei verschiedenen parallelen Ebenen der Schar.
Für k 1 ≠ k 2 k_1 \neq k_2 k 1 = k 2
Frage Antwort Nicht parallel zur x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 n ⃗ k \vec{n}_k n k ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) ( k , 3 − k ) ≠ ( 0 , 0 ) (k, 3-k) \neq (0,0) ( k , 3 − k ) = ( 0 , 0 ) Parallele Ebenen Nein — je zwei verschiedene schneiden sich