Baumdiagramm — Wetter und Verspätung

Aufgabenstellung

An einem bestimmten Ort regnet es mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(\text{Regen}) = 0{,}3$. Bei Regen beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung im Busverkehr $P(\text{V} \mid \text{R}) = 0{,}6$. Ohne Regen beträgt sie $P(\text{V} \mid \overline{\text{R}}) = 0{,}1$.

• (a) Beschreiben Sie das zugehörige Baumdiagramm. Listen Sie alle Pfade mit ihren Wahrscheinlichkeiten auf.
• (b) Berechnen Sie $P(\text{Regen und Verspätung})$ mithilfe der Pfadmultiplikationsregel.
• (c) Berechnen Sie die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(\text{Verspätung})$ mithilfe der Pfadadditionsregel.
• (d) Berechnen Sie $P(\text{Regen} \mid \text{Verspätung})$ mithilfe des Satzes von Bayes.
• (e) Interpretieren Sie das Ergebnis aus (d) im Alltag.

Lösungsweg

Schritt 1: Baumdiagramm — alle Pfade auflisten (a)

Stufe 1: Wetter (Regen oder kein Regen)

• $P(\text{R}) = 0{,}3$
• $P(\overline{\text{R}}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$

Stufe 2: Verspätung (ja oder nein), abhängig vom Wetter

Es ergeben sich vier Pfade:

Pfad	Stufe 1	Stufe 2	Pfadwahrscheinlichkeit
1	Regen ($0{,}3$)	Verspätung ($0{,}6$)	$0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$
2	Regen ($0{,}3$)	Keine Verspätung ($0{,}4$)	$0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$
3	Kein Regen ($0{,}7$)	Verspätung ($0{,}1$)	$0{,}7 \cdot 0{,}1 = 0{,}07$
4	Kein Regen ($0{,}7$)	Keine Verspätung ($0{,}9$)	$0{,}7 \cdot 0{,}9 = 0{,}63$

Kontrolle: $0{,}18 + 0{,}12 + 0{,}07 + 0{,}63 = 1{,}00$ ✓

Schritt 2: $P(\text{Regen und Verspätung})$ — Pfadmultiplikation (b)

Die erste Pfadregel (Multiplikationsregel) besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

$P(\text{R} \cap \text{V}) = P(\text{R}) \cdot P(\text{V} \mid \text{R}) = 0{,}3 \cdot 0{,}6$

$\boxed{P(\text{R} \cap \text{V}) = 0{,}18 = 18\,\%}$

Schritt 3: $P(\text{Verspätung})$ — Pfadaddition (c)

Die zweite Pfadregel (Additionsregel) besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ereignis führen.

Verspätung tritt auf Pfad 1 und Pfad 3 auf:

$P(\text{V}) = P(\text{R} \cap \text{V}) + P(\overline{\text{R}} \cap \text{V})$

$P(\text{V}) = 0{,}18 + 0{,}07$

$\boxed{P(\text{V}) = 0{,}25 = 25\,\%}$

Schritt 4: $P(\text{Regen} \mid \text{Verspätung})$ — Satz von Bayes (d)

Der Satz von Bayes ermöglicht es, die bedingte Wahrscheinlichkeit „umzudrehen”:

$P(\text{R} \mid \text{V}) = \frac{P(\text{R} \cap \text{V})}{P(\text{V})} = \frac{P(\text{R}) \cdot P(\text{V} \mid \text{R})}{P(\text{V})}$

$P(\text{R} \mid \text{V}) = \frac{0{,}18}{0{,}25} = \frac{18}{25}$

$\boxed{P(\text{R} \mid \text{V}) = 0{,}72 = 72\,\%}$

Schritt 5: Interpretation im Alltag (e)

Wenn der Bus Verspätung hat, liegt mit $72\,\%$ Wahrscheinlichkeit Regen vor. Obwohl es nur an $30\,\%$ der Tage regnet, ist Regen die häufigste Ursache für Verspätungen: Bei Regen verspätet sich der Bus in $60\,\%$ der Fälle, ohne Regen nur in $10\,\%$.

Das Wissen über eine Verspätung erhöht die Regenwahrscheinlichkeit also drastisch — von $30\,\%$ (ohne Information) auf $72\,\%$ (bei bekannter Verspätung). Dies zeigt, wie der Satz von Bayes aus beobachteten Wirkungen auf Ursachen zurückschließen kann.

Ergebnis

Frage	Antwort
(a) Pfade	4 Pfade, Summe $= 1{,}00$
(b) $P(\text{R} \cap \text{V})$	$0{,}18$ ($18\,\%$)
(c) $P(\text{V})$	$0{,}25$ ($25\,\%$)
(d) $P(\text{R} \mid \text{V})$	$0{,}72$ ($72\,\%$)
(e) Interpretation	Verspätung deutet stark auf Regen hin