Tangente an eine Parabel aufstellen

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

• (a) Bestimmen Sie $f'(x)$ mithilfe des Differentialquotienten (h-Methode). (3 BE)
• (b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(1 \mid f(1))$. (3 BE)
• (c) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Tangente an $f$ die Steigung $-2$ hat, und geben Sie die zugehörige Tangentengleichung an. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Ableitung mit h-Methode (a)

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Zähler berechnen:

$f(x_0 + h) = -(x_0 + h)^2 + 6(x_0 + h) - 5$

$= -x_0^2 - 2x_0 h - h^2 + 6x_0 + 6h - 5$

$f(x_0 + h) - f(x_0) = -2x_0 h - h^2 + 6h = h(-2x_0 - h + 6)$

Differenzenquotient vereinfachen und Grenzwert bilden:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{h(-2x_0 - h + 6)}{h} = \lim_{h \to 0} (-2x_0 - h + 6) = -2x_0 + 6$

$\boxed{f'(x) = -2x + 6}$

Schritt 2: Tangente im Punkt $P(1 \mid f(1))$ (b)

Funktionswert und Ableitung:

$f(1) = -1 + 6 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad P(1 \mid 0)$

$f'(1) = -2 + 6 = 4$

Tangentengleichung:

$t(x) = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) = 4(x - 1) + 0 = 4x - 4$

$\boxed{t(x) = 4x - 4}$

Schritt 3: Stelle mit Steigung $-2$ bestimmen (c)

$f'(x_0) = -2 \quad \Rightarrow \quad -2x_0 + 6 = -2 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 4$

$\boxed{x_0 = 4}$

Schritt 4: Zugehörige Tangentengleichung (c)

Funktionswert:

$f(4) = -16 + 24 - 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad Q(4 \mid 3)$

Tangentengleichung:

$t(x) = -2(x - 4) + 3 = -2x + 8 + 3 = -2x + 11$

$\boxed{t(x) = -2x + 11}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Ableitungsfunktion $f'(x)$	$-2x + 6$
Tangente in $P(1 \mid 0)$	$t(x) = 4x - 4$
Stelle mit Steigung $-2$	$x_0 = 4$
Tangente in $Q(4 \mid 3)$	$t(x) = -2x + 11$