Differenzenquotient und Ableitung mit der h-Methode

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

(a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten von $f$ im Intervall $[1;\; 3]$ . Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. (2 BE)
(b) Bestimmen Sie die Ableitung $f'(x_0)$ an einer beliebigen Stelle $x_0$ mithilfe des Differentialquotienten (h-Methode). (4 BE)
(c) Berechnen Sie $f'(2)$ und geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(2 \mid f(2))$ an. (4 BE)

Der Differenzenquotient im Intervall $[1;\; 3]$ ist die mittlere Änderungsrate:

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$

Funktionswerte berechnen:

$f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$

$f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$

Differenzenquotient:

$\frac{0 - 0}{3 - 1} = \frac{0}{2} = 0$

$\boxed{\text{Mittlere Änderungsrate} = 0}$

Geometrische Interpretation: Die Sekante durch die Punkte $(1 \mid 0)$ und $(3 \mid 0)$ verläuft horizontal — sie hat die Steigung $0$ .

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Zähler berechnen:

$f(x_0 + h) = (x_0 + h)^2 - 4(x_0 + h) + 3$

$= x_0^2 + 2x_0 h + h^2 - 4x_0 - 4h + 3$

$f(x_0 + h) - f(x_0) = 2x_0 h + h^2 - 4h = h(2x_0 + h - 4)$

Differenzenquotient vereinfachen:

$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{h(2x_0 + h - 4)}{h} = 2x_0 + h - 4$

Grenzwert bilden:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} (2x_0 + h - 4) = 2x_0 - 4$

$\boxed{f'(x) = 2x - 4}$

$f'(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0$

$\boxed{f'(2) = 0}$

Berührpunkt bestimmen:

$f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 \quad \Rightarrow \quad P(2 \mid -1)$

Tangentengleichung mit Punkt-Steigungs-Form $t(x) = f'(2) \cdot (x - 2) + f(2)$ :

$t(x) = 0 \cdot (x - 2) + (-1) = -1$

$\boxed{t(x) = -1}$

Die Tangente ist eine waagerechte Gerade — der Punkt $P(2 \mid -1)$ ist der Scheitelpunkt der Parabel.