Trigonometrie – Sinus, Kosinus und Tangens

Einführung

Wie misst man die Höhe eines Turms, ohne hinaufzuklettern? Wie berechnet Architekten den genauen Winkel eines Dachs? Diese Fragen klingen praktisch – und sie sind es auch. Die Antwort liegt in der Trigonometrie: der Mathematik der Winkel und Seiten in Dreiecken.

Trigonometrie begegnet dir in der Physik (Kräfte zerlegen), in der Informatik (3D-Grafik), in der Musik (Schallwellen) und im Abi. Dieser Grundstein lohnt sich.

Grundidee

Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor. Du kennst einen Winkel und eine Seite – und kannst damit alle anderen Seiten und Winkel berechnen. Das klingt nach Zauberei, ist aber Mathematik.

Der Trick: In allen rechtwinkligen Dreiecken mit demselben Winkel sind die Verhältnisse der Seiten immer gleich – egal wie groß das Dreieck ist. Ein Dreieck mit 30°-Winkel, das dreimal so groß ist wie ein anderes mit 30°-Winkel, hat exakt dieselben Seitenverhältnisse.

Diese Verhältnisse haben Namen: Sinus, Kosinus und Tangens.

Erklärung

Seiten des rechtwinkligen Dreiecks

Bezogen auf den Winkel $\alpha$ (sprich: Alpha) unterscheiden wir:

• Hypotenuse (H): die längste Seite, liegt gegenüber dem rechten Winkel
• Gegenkathete (GK): liegt $\alpha$ gegenüber
• Ankathete (AK): liegt neben $\alpha$ (und ist nicht die Hypotenuse)

Die drei Grundformeln (SOH-CAH-TOA)

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{GK}{H}$

Sinus gibt das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse an – wie „hoch” der Winkel greift.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{AK}{H}$

Kosinus gibt das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse an – wie „weit” der Winkel reicht.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{GK}{AK}$

Tangens ist das Verhältnis der beiden Katheten zueinander – die „Steigung” des Winkels.

Umstellen der Formeln

Aus den Grundformeln lassen sich die Seiten direkt berechnen:

$GK = H \cdot \sin(\alpha) \qquad AK = H \cdot \cos(\alpha) \qquad GK = AK \cdot \tan(\alpha)$

Und den Winkel berechnet man durch die Umkehrfunktionen:

$\alpha = \arcsin\!\left(\frac{GK}{H}\right) \qquad \alpha = \arccos\!\left(\frac{AK}{H}\right) \qquad \alpha = \arctan\!\left(\frac{GK}{AK}\right)$

Am Taschenrechner heißen diese Tasten $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ (oder SHIFT + sin/cos/tan).

Spezielle Winkel – exakte Werte

Für bestimmte Winkel kennt man die exakten Werte ohne Taschenrechner:

Winkel $\alpha$	$\sin(\alpha)$	$\cos(\alpha)$	$\tan(\alpha)$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	nicht definiert

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Für jeden Punkt $P$ auf dem Kreis gilt:

$P = (\cos(\alpha),\ \sin(\alpha))$

Das bedeutet: Der Kosinus ist die x-Koordinate und der Sinus ist die y-Koordinate des Punktes. So lassen sich Sinus und Kosinus auf beliebige Winkel (auch über 90° hinaus) erweitern.

Daraus folgt auch die wichtigste Identität der Trigonometrie:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Das ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras für den Einheitskreis: $x^2 + y^2 = 1$.

Sinussatz und Kosinussatz

Für beliebige Dreiecke (nicht nur rechtwinklige) gibt es zwei mächtige Werkzeuge:

Sinussatz – wenn ein Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Kosinussatz – wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

Für $\gamma = 90°$ vereinfacht sich der Kosinussatz zu $c^2 = a^2 + b^2$ – dem Satz des Pythagoras.

Beispiel aus dem Alltag

Ein Förster will die Höhe einer Tanne bestimmen, ohne sie zu fällen. Er geht 30 m vom Baum weg und misst den Höhenwinkel zur Baumspitze: $\alpha = 55°$.

Gesucht: Baumhöhe $h$

Skizze: Der Abstand (30 m) ist die Ankathete, die Baumhöhe $h$ ist die Gegenkathete, der Winkel $\alpha = 55°$ ist bekannt.

Rechnung mit Tangens (Gegenkathete geteilt durch Ankathete):

$\tan(55°) = \frac{h}{30\,\mathrm{m}}$

$h = 30\,\mathrm{m} \cdot \tan(55°) = 30\,\mathrm{m} \cdot 1{,}428 \approx 42{,}8\,\mathrm{m}$

Die Tanne ist etwa 43 Meter hoch.

Anwendung

Aufgabe: Ein Klettersteig hat eine Länge von 120 m und steigt dabei 68 m in die Höhe. Berechne den Neigungswinkel des Steigs.

Hinweis: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Welche Seiten kennst du? Welche Formel brauchst du?

Typische Fehler

„Ich vertausche Gegenkathete und Ankathete.” Achte immer auf die Lage des Winkels: Die Gegenkathete liegt ihm gegenüber, die Ankathete grenzt direkt an ihn – aber ist nicht die Hypotenuse.

„Ich vergesse, den Taschenrechner auf Grad einzustellen.” Im Modus RAD (Bogenmaß) liefert sin(55) das falsche Ergebnis. Überprüfe immer: sin(90°) muss 1 ergeben.

„Ich benutze Sinus, wo Kosinus gefragt ist.” Zeichne immer zuerst ein Dreieck und beschrifte die Seiten. Dann wird die richtige Formel offensichtlich.

Zusammenfassung

Merke dir:

• SOH-CAH-TOA: Sinus = GK/H, Kosinus = AK/H, Tangens = GK/AK
• Sinus und Kosinus liegen immer zwischen $-1$ und $1$; der Tangens kann jeden Wert annehmen
• Im Einheitskreis sind $\cos(\alpha)$ die x- und $\sin(\alpha)$ die y-Koordinate
• Spezielle Winkel auswendig lernen: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
• Für beliebige Dreiecke: Sinussatz (Winkel + Gegenseite bekannt) oder Kosinussatz (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel bekannt)
• Immer zuerst skizzieren, Seiten beschriften, dann Formel wählen

Quiz

Frage 1: In einem rechtwinkligen Dreieck mit $\alpha = 40°$ und Hypotenuse $H = 10\,\mathrm{cm}$. Wie lang ist die Gegenkathete?

Antwort anzeigen

$GK = H \cdot \sin(\alpha) = 10\,\mathrm{cm} \cdot \sin(40°) \approx 10 \cdot 0{,}643 = 6{,}43\,\mathrm{cm}$

Frage 2: Welche Werte haben $\sin(45°)$ und $\cos(45°)$ exakt?

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Beide sind gleich $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig, daher sind die beiden Katheten gleich lang.

Frage 3: Erkläre in einem Satz, was der Einheitskreis mit Sinus und Kosinus zu tun hat.

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Ein Punkt auf dem Einheitskreis (Radius 1) hat die Koordinaten $(\cos(\alpha),\ \sin(\alpha))$, wobei $\alpha$ der Winkel zur positiven x-Achse ist.

Frage 4: Du kennst in einem (nicht rechtwinkligen) Dreieck zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel. Welchen Satz verwendest du?

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Den Kosinussatz: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$. Den Sinussatz nutzt man, wenn eine Seite und der gegenüberliegende Winkel bekannt sind.