Logarithmen – Die Umkehrung der Potenz

Einführung

Wie lange dauert es, bis sich eine Investition verdoppelt? Mit welcher Zerfallszeit nimmt Radioaktivität ab? Wie laut ist eigentlich doppelt so laut? All diese Fragen führen auf Logarithmen – eine der nützlichsten und dabei am meisten missverstandenen mathematischen Operationen.

Der Logarithmus beantwortet eine einfache Frage: „Auf welchen Exponenten muss ich die Basis erheben, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?”

Grundidee

Du kennst Potenzen: $2^3 = 8$ bedeutet, dass 2 dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt. Aber was, wenn du 8 kennst und wissen willst: „Welcher Exponent liefert 8, wenn die Basis 2 ist?”

Genau das berechnet der Logarithmus: $\log_2(8) = 3$.

Der Logarithmus kehrt die Potenz um – genauso wie die Division die Multiplikation umkehrt oder die Wurzel die Potenz.

Erklärung

Definition

$\log_b(x) = y \quad \Longleftrightarrow \quad b^y = x$

Lies: „Der Logarithmus von $x$ zur Basis $b$ ist $y$” – bedeutet dasselbe wie „$b$ hoch $y$ ergibt $x$.”

Dabei gilt: $b > 0$, $b \neq 1$ und $x > 0$ (Logarithmen negativer Zahlen existieren nicht im Reellen).

Beispiele:

• $\log_2(8) = 3$, weil $2^3 = 8$
• $\log_{10}(1000) = 3$, weil $10^3 = 1000$
• $\log_3(9) = 2$, weil $3^2 = 9$
• $\log_2\!\left(\frac{1}{4}\right) = -2$, weil $2^{-2} = \frac{1}{4}$

Besondere Logarithmen

Dekadischer Logarithmus $\lg$ (Basis 10): $\lg(x) = \log_{10}(x)$ Auf dem Taschenrechner die Taste LOG. Wird in der Chemie (pH-Wert) und Akustik (Dezibel) verwendet.

Natürlicher Logarithmus $\ln$ (Basis $e \approx 2{,}718$): $\ln(x) = \log_e(x)$ Auf dem Taschenrechner die Taste LN. Er taucht überall auf, wo Wachstum oder Zerfall beschrieben wird, und ist die Umkehrfunktion von $e^x$.

Die Logarithmusgesetze

Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung von $\ln(x)$ ist besonders elegant:

$\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \qquad (x > 0)$

Und daraus folgt umgekehrt:

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

Dies ist eine der wichtigsten Stammfunktionen im Abitur – der einzige Term, dessen Stammfunktion kein Polynom, sondern ein Logarithmus ist.

Graph der Logarithmusfunktion

$f(x) = \log_b(x)$ hat folgende Eigenschaften:

• Definitionsmenge: $x > 0$ (nur positive Zahlen)
• Wertemenge: alle reellen Zahlen (der Graph geht von $-\infty$ bis $+\infty$)
• Nullstelle immer bei $x = 1$, denn $\log_b(1) = 0$ für alle Basen
• Für $b > 1$: streng monoton steigend (je größer die Basis, desto langsamer)
• Der Graph ist die Spiegelung von $y = b^x$ an der Winkelhalbierenden $y = x$

Beispiel aus dem Alltag

pH-Wert: Der pH-Wert einer Lösung ist definiert als: $\text{pH} = -\lg(c_{H^+})$

wobei $c_{H^+}$ die Konzentration der Wasserstoffionen in mol/l ist.

Reines Wasser hat $c_{H^+} = 10^{-7}\,\mathrm{mol/l}$: $\text{pH} = -\lg(10^{-7}) = -(-7) = 7$

Zitronensaft hat $c_{H^+} \approx 10^{-2{,}4}\,\mathrm{mol/l}$: $\text{pH} = -\lg(10^{-2{,}4}) = 2{,}4$

Die logarithmische Skala komprimiert einen riesigen Wertebereich (1 bis $10^{14}$) auf die handliche Skala 0–14.

Dezibel: Auch Lautstärke wird logarithmisch gemessen. Eine Verdopplung des Schalldrucks entspricht nur etwa $+3\,\mathrm{dB}$ – nicht einer Verdopplung der Dezibelzahl.

Verdopplungszeit: Wie lange dauert es, bis ein Kapital mit 5 % Zinsen jährlich auf das Doppelte angewachsen ist?

$1{,}05^t = 2 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}05)} = \frac{0{,}693}{0{,}0488} \approx 14{,}2 \text{ Jahre}$

Anwendung

Aufgabe: Ein Bakterienstamm verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen Stunden sind aus 1 Bakterium mindestens 1 Million Bakterien geworden?

Die Anzahl nach $t$ Stunden: $N(t) = 2^t$. Gesucht: $t$, sodass $2^t \geq 10^6$.

Logarithmiere beide Seiten (Basis egal – wir nehmen $\lg$):

$t \cdot \lg(2) \geq \lg(10^6) = 6$

$t \geq \frac{6}{\lg(2)} = \frac{6}{0{,}301} \approx 19{,}9$

Nach 20 Stunden gibt es erstmals mehr als eine Million Bakterien.

Typische Fehler

„$\log(x + y) = \log(x) + \log(y)$” – Das ist falsch! Das Produktgesetz gilt nur für ein Produkt: $\log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y)$. Für Summen gibt es kein vereinfachendes Gesetz.

„Der Logarithmus ist für alle reellen Zahlen definiert.” Falsch: $\ln(-1)$ und $\ln(0)$ existieren nicht im Reellen. Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert.

„$\ln(e) = 1$ – stimmt das?” Ja! Denn $e^1 = e$. Allgemein gilt: $\ln(e^x) = x$ und $e^{\ln(x)} = x$.

Zusammenfassung

Merke dir:

• $\log_b(x) = y \Leftrightarrow b^y = x$ – Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Potenz
• Drei Hauptgesetze: Produkt → Summe, Quotient → Differenz, Potenz → Faktor
• Natürlicher Logarithmus $\ln$: Basis $e$, Ableitung von $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}$
• Dekadischer Logarithmus $\lg$: Basis 10, praktisch für pH-Wert und Dezibel
• Basiswechsel: $\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$
• Logarithmen kommen überall vor, wo Exponenten gesucht werden oder Größen logarithmisch skaliert sind

Quiz

Frage 1: Berechne $\log_3(81)$ ohne Taschenrechner.

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$\log_3(81) = 4$, denn $3^4 = 81$.

Frage 2: Vereinfache: $\ln(e^5)$

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$\ln(e^5) = 5$, denn $\ln$ und $e^x$ sind Umkehrfunktionen. Allgemein: $\ln(e^x) = x$.

Frage 3: Welche der folgenden Vereinfachungen ist korrekt? (A) $\lg(a + b) = \lg(a) + \lg(b)$ (B) $\lg(a \cdot b) = \lg(a) + \lg(b)$ (C) $\lg(a^b) = \lg(a) \cdot \lg(b)$

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(B) ist korrekt: Das Produktgesetz. (A) ist falsch – Summen lassen sich nicht vereinfachen. (C) ist falsch – bei der Potenzregel wird der Exponent zum Faktor: $\lg(a^b) = b \cdot \lg(a)$.

Frage 4: Löse die Gleichung $e^{2x} = 7$ nach $x$ auf.

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Logarithmiere beide Seiten: $\ln(e^{2x}) = \ln(7)$, also $2x = \ln(7)$, also $x = \frac{\ln(7)}{2} \approx \frac{1{,}946}{2} \approx 0{,}973$.