Komplexe Zahlen – Wenn x² = −1 eine Lösung hat

Einführung

Was passiert, wenn man die Gleichung $x^2 = -1$ lösen möchte? Jede reelle Zahl, quadriert, ergibt eine nicht-negative Zahl – also gibt es keine reelle Lösung. Für Jahrhunderte hielten Mathematiker solche Gleichungen schlicht für unlösbar.

Dann kam die Idee: Was, wenn man einfach eine neue Zahl erfindet, die $x^2 = -1$ löst? Das klingt wie ein Trick – ist aber eine der fruchtbarsten Ideen der Mathematikgeschichte. Komplexe Zahlen sind heute unverzichtbar in der Elektrotechnik, Quantenmechanik und Signalverarbeitung.

Grundidee

Ähnlich wie man die negativen Zahlen „erfunden” hat, weil $x + 5 = 3$ keine natürliche Lösung hat, erfindet man eine neue Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^2 = -1$.

Dann kann man neue Zahlen der Form $a + bi$ bilden, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind. Diese heißen komplexe Zahlen – und mit ihnen hat jede quadratische Gleichung genau zwei Lösungen (die möglicherweise gleich sind).

Erklärung

Die imaginäre Einheit

$i^2 = -1 \qquad \text{also} \qquad i = \sqrt{-1}$

$i$ heißt imaginäre Einheit. Höhere Potenzen von $i$ wiederholen sich in einem 4er-Zyklus:

Potenz	Wert
$i^1$	$i$
$i^2$	$-1$
$i^3$	$-i$
$i^4$	$1$
$i^5$	$i$
$\vdots$	$\vdots$

Der Zyklus beginnt immer wieder von vorne. Um $i^{37}$ zu berechnen: $37 = 4 \cdot 9 + 1$, also $i^{37} = i^1 = i$.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl $z$ hat die Form:

$z = a + bi$

• $a = \mathrm{Re}(z)$ heißt Realteil (der „normale” Anteil)
• $b = \mathrm{Im}(z)$ heißt Imaginärteil (der Koeffizient von $i$)

Beide $a$ und $b$ sind reelle Zahlen. Die Menge aller komplexen Zahlen heißt $\mathbb{C}$.

Beispiele:

• $z_1 = 3 + 2i$: Realteil 3, Imaginärteil 2
• $z_2 = -1 - 5i$: Realteil $-1$, Imaginärteil $-5$
• $z_3 = 4$ (also $4 + 0i$): rein reelle Zahl – jede reelle Zahl ist auch komplex
• $z_4 = 3i$ (also $0 + 3i$): rein imaginäre Zahl

Die Gauß’sche Zahlenebene

Reelle Zahlen liegen auf einer Zahlengeraden. Komplexe Zahlen brauchen eine Ebene: Die x-Achse trägt den Realteil, die y-Achse den Imaginärteil.

  Im
   │
3i ─ ·  z = 2 + 3i
2i ─
 i ─
   │
───┼────────── Re
   │  1  2  3
-i ─

Jede komplexe Zahl entspricht einem Punkt in dieser Ebene. Die Darstellung heißt Gauß’sche Zahlenebene oder komplexe Zahlenebene.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Addition und Subtraktion – Real- und Imaginärteile getrennt addieren:

$(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$

Beispiel: $(3 + 2i) + (1 - 5i) = (3+1) + (2-5)i = 4 - 3i$

Multiplikation – ausmultiplizieren (FOIL) und $i^2 = -1$ ersetzen:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac + adi + bci - bd$ $= (ac - bd) + (ad + bc)i$

Beispiel: $(2 + 3i)(1 + 4i) = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i + 12(-1) = -10 + 11i$

Konjugiert komplexe Zahl

Die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}$ entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils:

$z = a + bi \qquad \Rightarrow \qquad \bar{z} = a - bi$

Geometrisch: $\bar{z}$ ist die Spiegelung von $z$ an der reellen Achse.

Wichtige Eigenschaft: $z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}$

Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugierten ist immer reell. Das nutzt man, um Brüche mit komplexem Nenner zu vereinfachen (Erweiterung mit dem Konjugierten).

Betrag

Der Betrag $|z|$ einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der Gauß’schen Ebene:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Das ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras in der komplexen Ebene.

Beispiel: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante

Für $x^2 + 4 = 0$ gilt: $x^2 = -4$, also $x = \pm\sqrt{-4} = \pm\sqrt{4 \cdot (-1)} = \pm 2i$.

Allgemein: Ist die Diskriminante $D = b^2 - 4ac < 0$, so hat die quadratische Gleichung zwei konjugiert komplexe Lösungen:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}$

Beispiel aus dem Alltag

Wechselstrom in der Elektrotechnik: In der Elektrotechnik beschreiben komplexe Zahlen Wechselstromgrößen. Spannung und Strom schwingen – ihre Amplitude und Phasenverschiebung lassen sich elegant als komplexe Zahl (Phasor) darstellen.

Ein Kondensator hat den komplexen Widerstand (Impedanz): $Z_C = \frac{1}{i\omega C} = -\frac{i}{\omega C}$

wobei $\omega$ die Kreisfrequenz und $C$ die Kapazität sind. Die imaginäre Einheit drückt dabei die Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung aus.

Ohne komplexe Zahlen würde die Berechnung von Wechselstromschaltungen sehr aufwändig werden.

Anwendung

Aufgabe: Berechne $(1 + 2i)^2$ und gib Realteil, Imaginärteil und Betrag des Ergebnisses an.

$(1 + 2i)^2 = 1 + 2i + 2i + 4i^2 = 1 + 4i + 4(-1) = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

• Realteil: $-3$
• Imaginärteil: $4$
• Betrag: $|-3 + 4i| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Typische Fehler

„$\sqrt{-4} = -2$” – Das ist falsch. $(-2)^2 = 4$, nicht $-4$. Die Wurzel aus einer negativen Zahl ergibt eine imaginäre Zahl: $\sqrt{-4} = 2i$.

„i² = 1” – $i$ ist nicht 1, sondern $\sqrt{-1}$. Deshalb ist $i^2 = -1$, nicht $+1$. Dieser Fehler führt zu falschen Ergebnissen bei der Multiplikation.

„Realteil und Imaginärteil addieren.” $3 + 2i$ kann nicht zu $5$ vereinfacht werden – $3$ und $2i$ sind verschiedenartige Größen, genauso wie Äpfel und Birnen.

Zusammenfassung

Merke dir:

• $i^2 = -1$ – das ist die Definition der imaginären Einheit
• Komplexe Zahl: $z = a + bi$ mit Realteil $a$ und Imaginärteil $b$
• Gauß’sche Zahlenebene: x-Achse = reell, y-Achse = imaginär
• Addition: Real- und Imaginärteile getrennt; Multiplikation: FOIL mit $i^2 = -1$ ersetzen
• Konjugiert: $\bar{z} = a - bi$; Betrag: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante haben zwei konjugiert komplexe Lösungen

Quiz

Frage 1: Berechne $(3 - i)(3 + i)$.

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$(3 - i)(3 + i) = 9 + 3i - 3i - i^2 = 9 - (-1) = 10$. Das ist das Produkt einer Zahl mit ihrer Konjugierten: $|3 + i|^2 = 3^2 + 1^2 = 10$.

Frage 2: Welchen Betrag hat $z = -5 + 12i$?

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$|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Frage 3: Löse $x^2 + 6x + 13 = 0$ in $\mathbb{C}$.

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Diskriminante: $D = 36 - 52 = -16 < 0$. $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i$ Die Lösungen sind $x_1 = -3 + 2i$ und $x_2 = -3 - 2i$ (konjugiert komplex).

Frage 4: Was ist $i^{23}$?

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$23 = 4 \cdot 5 + 3$, also $i^{23} = i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.