Mittelstufe Natur & Technik 15 Punkte · ~25 Min.

Optisches Gitter: Beugung und Spektralzerlegung

Aufgabenstellung

Weißes Licht fällt auf ein optisches Gitter mit g=600  Linien/mmg = 600\;\text{Linien/mm}. Auf einem Schirm hinter dem Gitter wird das Licht in seine spektralen Bestandteile zerlegt.

  • (a) Berechnen Sie die Gitterkonstante dd und den Beugungswinkel für rotes Licht (λrot=650  nm\lambda_{\text{rot}} = 650\;\text{nm}) in erster Ordnung. (4 BE)
  • (b) Bestimmen Sie den Winkelbereich, in dem das Spektrum 1. Ordnung liegt (von Violett λv=400  nm\lambda_{\text{v}} = 400\;\text{nm} bis Rot λr=700  nm\lambda_{\text{r}} = 700\;\text{nm}). (4 BE)
  • (c) Erklären Sie, warum bei einem Gitter mit mehr Spalten die Maxima schärfer werden. (3 BE)
  • (d) Überprüfen Sie, ob sich die Spektren 1. und 2. Ordnung überlappen können. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Gitterkonstante und Beugungswinkel (a)

Die Gitterkonstante dd ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Spalten. Bei g=600  Linien/mmg = 600\;\text{Linien/mm} gilt:

d=1g=1600  mm−1=1600  mm=1,667⋅10−3  mm=1,667  μmd = \frac{1}{g} = \frac{1}{600\;\text{mm}^{-1}} = \frac{1}{600} \;\text{mm} = 1{,}667 \cdot 10^{-3}\;\text{mm} = 1{,}667\;\mu\text{m}

Für die Lage der Maxima am Gitter gilt die Gittergleichung:

d⋅sin⁡(α)=n⋅λd \cdot \sin(\alpha) = n \cdot \lambda

Für rotes Licht (λrot=650  nm\lambda_{\text{rot}} = 650\;\text{nm}) in erster Ordnung (n=1n = 1):

sin⁡(α)=n⋅λd=1⋅650⋅10−9  m1,667⋅10−6  m=0,3899\sin(\alpha) = \frac{n \cdot \lambda}{d} = \frac{1 \cdot 650 \cdot 10^{-9}\;\text{m}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}\;\text{m}} = 0{,}3899

α=arcsin⁡(0,3899)=22,95°≈23,0°\alpha = \arcsin(0{,}3899) = 22{,}95° \approx 23{,}0°

d=1,667  μm;αrot≈23,0°\boxed{d = 1{,}667\;\mu\text{m};\quad \alpha_{\text{rot}} \approx 23{,}0°}

Schritt 2: Winkelbereich des Spektrums 1. Ordnung (b)

Violettes Licht (λv=400  nm\lambda_{\text{v}} = 400\;\text{nm}, n=1n = 1):

sin⁡(αv)=400⋅10−91,667⋅10−6=0,2400\sin(\alpha_{\text{v}}) = \frac{400 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}2400

αv=arcsin⁡(0,2400)=13,89°≈13,9°\alpha_{\text{v}} = \arcsin(0{,}2400) = 13{,}89° \approx 13{,}9°

Rotes Licht (λr=700  nm\lambda_{\text{r}} = 700\;\text{nm}, n=1n = 1):

sin⁡(αr)=700⋅10−91,667⋅10−6=0,4200\sin(\alpha_{\text{r}}) = \frac{700 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}4200

αr=arcsin⁡(0,4200)=24,83°≈24,8°\alpha_{\text{r}} = \arcsin(0{,}4200) = 24{,}83° \approx 24{,}8°

Der Winkelbereich des Spektrums 1. Ordnung erstreckt sich von:

Δα=αr−αv=24,8°−13,9°=10,9°\Delta\alpha = \alpha_{\text{r}} - \alpha_{\text{v}} = 24{,}8° - 13{,}9° = 10{,}9°

Spektrum 1. Ordnung: 13,9° (Violett) bis 24,8° (Rot),Δα≈10,9°\boxed{\text{Spektrum 1. Ordnung: } 13{,}9° \text{ (Violett)} \text{ bis } 24{,}8° \text{ (Rot)}, \quad \Delta\alpha \approx 10{,}9°}

Schritt 3: Schärfere Maxima bei mehr Spalten (c)

Die Schärfe der Maxima hängt von der Anzahl NN der beleuchteten Spalte ab:

  1. Bei einem Gitter mit NN Spalten überlagern sich NN Teilwellen. Konstruktive Interferenz tritt nur dann auf, wenn alle NN Teilwellen exakt in Phase sind – also genau bei den Winkeln, die die Gittergleichung erfüllen.

  2. Bereits bei einer geringfügigen Abweichung vom exakten Maximumswinkel geraten die Beiträge der vielen Spalte zueinander außer Phase. Je mehr Spalte beteiligt sind, desto schneller kommt es zur gegenseitigen Auslöschung – die Intensität fällt steil ab.

  3. Quantitativ gilt: Die Halbwertsbreite eines Maximums ist proportional zu 1N\frac{1}{N}. Die Winkelauflösung des Gitters beträgt λN⋅d\frac{\lambda}{N \cdot d}. Ein Gitter mit mehr Spalten hat also schmalere, schärfere Maxima und kann benachbarte Wellenlängen besser trennen (höheres Auflösungsvermögen A=n⋅NA = n \cdot N).

Mehr Spalte → schnellere Auslo¨schung bei Abweichung → schmalere, scha¨rfere Maxima\boxed{\text{Mehr Spalte → schnellere Auslöschung bei Abweichung → schmalere, schärfere Maxima}}

Schritt 4: Überlappung von 1. und 2. Ordnung (d)

Die Spektren überlappen sich, wenn der Beugungswinkel des kurzwelligen Lichts in 2. Ordnung kleiner ist als der des langwelligen Lichts in 1. Ordnung.

Rotes Licht, 1. Ordnung (λr=700  nm\lambda_{\text{r}} = 700\;\text{nm}, n=1n = 1):

sin⁡(α1,r)=1⋅7001667=0,4200⇒α1,r=24,8°\sin(\alpha_{1,\text{r}}) = \frac{1 \cdot 700}{1667} = 0{,}4200 \quad \Rightarrow \quad \alpha_{1,\text{r}} = 24{,}8°

Violettes Licht, 2. Ordnung (λv=400  nm\lambda_{\text{v}} = 400\;\text{nm}, n=2n = 2):

sin⁡(α2,v)=2⋅4001667=0,4800⇒α2,v=28,7°\sin(\alpha_{2,\text{v}}) = \frac{2 \cdot 400}{1667} = 0{,}4800 \quad \Rightarrow \quad \alpha_{2,\text{v}} = 28{,}7°

Da α2,v=28,7°>α1,r=24,8°\alpha_{2,\text{v}} = 28{,}7° > \alpha_{1,\text{r}} = 24{,}8° beginnt das Spektrum 2. Ordnung erst nach dem Ende des Spektrums 1. Ordnung. Es gibt also keine Überlappung.

Prüfung der kritischen Grenze: Das Spektrum 2. Ordnung beginnt bei:

sin⁡(α2,v)=2⋅4001667=0,4800\sin(\alpha_{2,\text{v}}) = \frac{2 \cdot 400}{1667} = 0{,}4800

Das Spektrum 1. Ordnung endet bei:

sin⁡(α1,r)=1⋅7001667=0,4200\sin(\alpha_{1,\text{r}}) = \frac{1 \cdot 700}{1667} = 0{,}4200

Da 0,4800>0,42000{,}4800 > 0{,}4200, liegt keine Überlappung vor. Eine Überlappung würde erst auftreten, wenn 2⋅λv,min<1⋅λr,max2 \cdot \lambda_{\text{v,min}} < 1 \cdot \lambda_{\text{r,max}}, also wenn λv,min<350  nm\lambda_{\text{v,min}} < 350\;\text{nm} – was im sichtbaren Bereich nicht der Fall ist.

Keine U¨berlappung: 2. Ordnung (Violett bei 28,7°) beginnt nach 1. Ordnung (Rot bei 24,8°)\boxed{\text{Keine Überlappung: 2. Ordnung (Violett bei } 28{,}7°\text{) beginnt nach 1. Ordnung (Rot bei } 24{,}8°\text{)}}

Ergebnis

FrageAntwort
Gitterkonstanted=1,667  μmd = 1{,}667\;\mu\text{m}
Beugungswinkel Rot (1. Ordnung)α≈23,0°\alpha \approx 23{,}0°
Spektrum 1. Ordnung13,9°13{,}9° (Violett) bis 24,8°24{,}8° (Rot)
Schärfe bei mehr SpaltenMehr Spalte → schmalere Maxima, höheres Auflösungsvermögen
Überlappung 1./2. OrdnungKeine Überlappung im sichtbaren Bereich