Geostationärer Satellit – Umlaufbahn berechnen

Aufgabenstellung

Ein Kommunikationssatellit soll auf einer geostationären Umlaufbahn positioniert werden. Die folgenden Konstanten sind gegeben:

• Masse der Erde: $M_E = 5{,}972 \cdot 10^{24}\;\text{kg}$

• Erdradius: $R_E = 6\,371\;\text{km}$

• Gravitationskonstante: $G = 6{,}674 \cdot 10^{-11}\;\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$

• (a) Erklären Sie, was unter einem geostationären Satelliten zu verstehen ist, und nennen Sie eine praktische Anwendung. (2 BE)

• (b) Berechnen Sie den Bahnradius $r$ des geostationären Satelliten. (4 BE)

• (c) Bestimmen Sie die Höhe $h$ des Satelliten über der Erdoberfläche. (2 BE)

• (d) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit $v$ des Satelliten. (3 BE)

• (e) Leiten Sie die 1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit an der Erdoberfläche) her und erklären Sie, warum ein geostationärer Satellit langsamer ist. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Geostationärer Satellit – Qualitative Beschreibung (a)

Ein geostationärer Satellit umkreist die Erde auf einer Kreisbahn in der Äquatorebene mit einer Umlaufdauer von exakt $T = 24\;\text{h} = 86\,400\;\text{s}$. Da seine Umlaufdauer mit der Erdrotation übereinstimmt, steht er für einen Beobachter auf der Erde scheinbar still über einem festen Punkt am Äquator.

Praktische Anwendungen:

• Telekommunikation: Satellitenfernsehen und Telefon (z. B. Astra, Hotbird)
• Wetterbeobachtung: Permanente Überwachung derselben Erdregion (z. B. Meteosat)
• Navigation: Ergänzung zu GPS-Systemen

$\boxed{\text{Geostationär: } T = 24\;\text{h}, \text{ Äquatorebene, erscheint ortsfest}}$

Schritt 2: Berechnung des Bahnradius (b)

Für eine stabile Kreisbahn muss die Gravitationskraft gleich der Zentripetalkraft sein:

$F_G = F_Z \quad \Longrightarrow \quad G \cdot \frac{M_E \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{4\pi^2 \cdot r}{T^2}$

Die Satellitenmasse $m$ kürzt sich heraus. Auflösen nach $r$:

$G \cdot \frac{M_E}{r^2} = \frac{4\pi^2 \cdot r}{T^2}$

$r^3 = \frac{G \cdot M_E \cdot T^2}{4\pi^2}$

$r = \sqrt[3]{\frac{G \cdot M_E \cdot T^2}{4\pi^2}}$

Einsetzen der Werte:

$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24} \cdot (86\,400)^2}{4\pi^2}}$

Berechnung des Zählers:

$G \cdot M_E = 6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24} = 3{,}986 \cdot 10^{14}\;\frac{\text{m}^3}{\text{s}^2}$

$T^2 = (86\,400\;\text{s})^2 = 7{,}465 \cdot 10^{9}\;\text{s}^2$

$G \cdot M_E \cdot T^2 = 3{,}986 \cdot 10^{14} \cdot 7{,}465 \cdot 10^{9} = 2{,}976 \cdot 10^{24}\;\text{m}^3$

Division durch $4\pi^2 = 39{,}48$:

$\frac{2{,}976 \cdot 10^{24}}{39{,}48} = 7{,}536 \cdot 10^{22}\;\text{m}^3$

Dritte Wurzel:

$r = \sqrt[3]{7{,}536 \cdot 10^{22}\;\text{m}^3} = 4{,}224 \cdot 10^{7}\;\text{m}$

$\boxed{r \approx 42\,240\;\text{km}}$

Schritt 3: Höhe über der Erdoberfläche (c)

Die Höhe $h$ ergibt sich aus der Differenz von Bahnradius und Erdradius:

$h = r - R_E$

$h = 42\,240\;\text{km} - 6\,371\;\text{km}$

$\boxed{h \approx 35\,870\;\text{km}}$

Der geostationäre Satellit befindet sich also in einer Höhe von rund $35\,900\;\text{km}$ über der Erdoberfläche – etwa 5,6 Erdradien.

Schritt 4: Bahngeschwindigkeit des Satelliten (d)

Die Bahngeschwindigkeit ergibt sich aus Umfang und Umlaufdauer:

$v = \frac{2\pi r}{T}$

$v = \frac{2\pi \cdot 4{,}224 \cdot 10^{7}\;\text{m}}{86\,400\;\text{s}}$

$v = \frac{2{,}654 \cdot 10^{8}\;\text{m}}{86\,400\;\text{s}}$

$\boxed{v \approx 3{,}07\;\frac{\text{km}}{\text{s}} = 3\,070\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

Schritt 5: 1. kosmische Geschwindigkeit und Vergleich (e)

Herleitung der 1. kosmischen Geschwindigkeit:

Die 1. kosmische Geschwindigkeit $v_1$ ist die minimale Geschwindigkeit für eine Kreisbahn direkt an der Erdoberfläche ($r = R_E$). Gleichsetzen von Gravitations- und Zentripetalkraft:

$G \cdot \frac{M_E \cdot m}{R_E^2} = m \cdot \frac{v_1^2}{R_E}$

$v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{R_E}}$

Einsetzen:

$v_1 = \sqrt{\frac{6{,}674 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}972 \cdot 10^{24}}{6{,}371 \cdot 10^{6}}}$

$v_1 = \sqrt{\frac{3{,}986 \cdot 10^{14}}{6{,}371 \cdot 10^{6}}} = \sqrt{6{,}255 \cdot 10^{7}}$

$\boxed{v_1 \approx 7{,}91\;\frac{\text{km}}{\text{s}}}$

Warum ist der geostationäre Satellit langsamer?

Allgemein gilt für die Kreisbahngeschwindigkeit:

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{r}}$

Die Bahngeschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Wurzel des Bahnradius: Je weiter der Satellit von der Erde entfernt ist, desto schwächer ist die Gravitationskraft, und desto geringer muss die Zentripetalbeschleunigung (und damit die Geschwindigkeit) sein, um die Kreisbahn zu halten.

Mit $r_{\text{geo}} = 42\,240\;\text{km} \approx 6{,}6 \cdot R_E$ folgt:

$\frac{v_{\text{geo}}}{v_1} = \sqrt{\frac{R_E}{r_{\text{geo}}}} = \sqrt{\frac{1}{6{,}6}} \approx 0{,}39$

Der geostationäre Satellit fliegt also nur mit etwa 39 % der 1. kosmischen Geschwindigkeit.

$\boxed{v_{\text{geo}} \approx 3{,}07\;\frac{\text{km}}{\text{s}} \ll v_1 \approx 7{,}91\;\frac{\text{km}}{\text{s}}}$

Ergebnis

Größe	Wert
Bahnradius $r$	$42\,240\;\text{km}$
Höhe über Erdoberfläche $h$	$35\,870\;\text{km}$
Bahngeschwindigkeit $v_{\text{geo}}$	$3{,}07\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$
1. kosmische Geschwindigkeit $v_1$	$7{,}91\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$
Verhältnis $v_{\text{geo}} / v_1$	$\approx 0{,}39$