Mittelstufe Natur & Technik 15 Punkte · ~25 Min.

RC-Zeitschaltung im Rauchmelder: Kondensatorentladung

Aufgabenstellung

In einem Rauchmelder wird ein RC-Glied als Zeitschaltung verwendet. Ein Kondensator (C=470  μFC = 470\;\mu\text{F}) wird über einen Widerstand (R=22  kΩR = 22\;\text{k}\Omega) entladen. Die Anfangsspannung beträgt U0=9,0  VU_0 = 9{,}0\;\text{V}. Ein Komparator löst den Alarm aus, wenn die Spannung unter Ugrenz=3,0  VU_{\text{grenz}} = 3{,}0\;\text{V} fällt.

  • (a) Berechnen Sie die Zeitkonstante τ=R⋅C\tau = R \cdot C des RC-Glieds. (2 BE)
  • (b) Die Spannung folgt U(t)=U0⋅e−tτU(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Grenzspannung erreicht wird. (4 BE)
  • (c) Skizzieren Sie den Spannungsverlauf U(t)U(t) und markieren Sie τ\tau, t1/2t_{1/2} und den Alarmzeitpunkt. (4 BE)
  • (d) Der Widerstand wird auf R′=47  kΩR' = 47\;\text{k}\Omega erhöht. Erklären Sie, wie sich die Alarmverzögerung ändert, und berechnen Sie den neuen Zeitpunkt. (5 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Zeitkonstante (a)

Gegeben: R=22  kΩ=22  000  ΩR = 22\;\text{k}\Omega = 22\;000\;\Omega, C=470  μF=470⋅10−6  FC = 470\;\mu\text{F} = 470 \cdot 10^{-6}\;\text{F}.

τ=R⋅C=22  000  Ω⋅470⋅10−6  F\tau = R \cdot C = 22\;000\;\Omega \cdot 470 \cdot 10^{-6}\;\text{F}

τ=10,34  s≈10,3  s\tau = 10{,}34\;\text{s} \approx 10{,}3\;\text{s}

τ≈10,3  s\boxed{\tau \approx 10{,}3\;\text{s}}

Schritt 2: Zeitpunkt der Grenzspannung (b)

Gegeben: U0=9,0  VU_0 = 9{,}0\;\text{V}, Ugrenz=3,0  VU_{\text{grenz}} = 3{,}0\;\text{V}, τ=10,34  s\tau = 10{,}34\;\text{s}.

Ansatz mit der Entladekurve:

U(t)=U0⋅e−tτU(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}

Setze U(t)=UgrenzU(t) = U_{\text{grenz}}:

3,0  V=9,0  V⋅e−tτ3{,}0\;\text{V} = 9{,}0\;\text{V} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}

3,09,0=e−tτ\frac{3{,}0}{9{,}0} = e^{-\frac{t}{\tau}}

13=e−tτ\frac{1}{3} = e^{-\frac{t}{\tau}}

Logarithmieren:

ln⁡ ⁣(13)=−tτ\ln\!\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{t}{\tau}

−ln⁡(3)=−tτ-\ln(3) = -\frac{t}{\tau}

t=τ⋅ln⁡(3)=10,34  s⋅1,099t = \tau \cdot \ln(3) = 10{,}34\;\text{s} \cdot 1{,}099

t≈11,4  st \approx 11{,}4\;\text{s}

t≈11,4  s\boxed{t \approx 11{,}4\;\text{s}}

Schritt 3: Skizze des Spannungsverlaufs (c)

Der Spannungsverlauf U(t)=U0⋅e−tτU(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} ist eine fallende Exponentialfunktion. Die Skizze muss folgende Elemente enthalten:

  1. Achsen: tt-Achse (horizontal) und UU-Achse (vertikal, bis U0=9,0  VU_0 = 9{,}0\;\text{V}).

  2. Startpunkt: U(0)=U0=9,0  VU(0) = U_0 = 9{,}0\;\text{V}.

  3. Zeitkonstante τ≈10,3  s\tau \approx 10{,}3\;\text{s}: Nach einer Zeitkonstante ist die Spannung auf U(τ)=U0⋅e−1≈0,368⋅9,0  V≈3,3  VU(\tau) = U_0 \cdot e^{-1} \approx 0{,}368 \cdot 9{,}0\;\text{V} \approx 3{,}3\;\text{V} gefallen. Man zeichnet die Tangente im Startpunkt ein, die die tt-Achse bei t=τt = \tau schneidet.

  4. Halbwertszeit t1/2t_{1/2}: Die Spannung ist auf U02=4,5  V\frac{U_0}{2} = 4{,}5\;\text{V} gefallen:

t1/2=τ⋅ln⁡(2)=10,34  s⋅0,693≈7,2  st_{1/2} = \tau \cdot \ln(2) = 10{,}34\;\text{s} \cdot 0{,}693 \approx 7{,}2\;\text{s}

  1. Alarmzeitpunkt: Bei t≈11,4  st \approx 11{,}4\;\text{s} wird Ugrenz=3,0  VU_{\text{grenz}} = 3{,}0\;\text{V} erreicht. Man zeichnet eine horizontale Linie bei 3,0  V3{,}0\;\text{V} und markiert den Schnittpunkt mit der Kurve.

  2. Kurve: Fällt steil ab, wird dann flacher und nähert sich asymptotisch der tt-Achse.

τ≈10,3  s,t1/2≈7,2  s,tAlarm≈11,4  s\boxed{\tau \approx 10{,}3\;\text{s},\quad t_{1/2} \approx 7{,}2\;\text{s},\quad t_{\text{Alarm}} \approx 11{,}4\;\text{s}}

Schritt 4: Erhöhter Widerstand (d)

Gegeben: R′=47  kΩ=47  000  ΩR' = 47\;\text{k}\Omega = 47\;000\;\Omega.

Erklärung: Ein größerer Widerstand begrenzt den Entladestrom stärker. Der Kondensator entlädt sich langsamer, die Zeitkonstante wird größer und die Grenzspannung wird später erreicht. Die Alarmverzögerung nimmt zu.

Neue Zeitkonstante:

τ′=R′⋅C=47  000  Ω⋅470⋅10−6  F=22,09  s\tau' = R' \cdot C = 47\;000\;\Omega \cdot 470 \cdot 10^{-6}\;\text{F} = 22{,}09\;\text{s}

Neuer Alarmzeitpunkt:

t′=τ′⋅ln⁡(3)=22,09  s⋅1,099t' = \tau' \cdot \ln(3) = 22{,}09\;\text{s} \cdot 1{,}099

t′≈24,3  st' \approx 24{,}3\;\text{s}

Die Alarmverzögerung hat sich von 11,4  s11{,}4\;\text{s} auf 24,3  s24{,}3\;\text{s} mehr als verdoppelt. Dies entspricht dem Verhältnis der Widerstände:

t′t=τ′τ=R′R=4722≈2,14\frac{t'}{t} = \frac{\tau'}{\tau} = \frac{R'}{R} = \frac{47}{22} \approx 2{,}14

t′≈24,3  s(Alarmverzo¨gerung mehr als verdoppelt)\boxed{t' \approx 24{,}3\;\text{s} \quad (\text{Alarmverzögerung mehr als verdoppelt})}

Ergebnis

FrageAntwort
Zeitkonstante τ\tau10,3  s10{,}3\;\text{s}
Alarmzeitpunktt≈11,4  st \approx 11{,}4\;\text{s}
Halbwertszeit t1/2t_{1/2}≈7,2  s\approx 7{,}2\;\text{s}
Neuer Alarmzeitpunkt (R′=47  kΩR' = 47\;\text{k}\Omega)t′≈24,3  st' \approx 24{,}3\;\text{s} (mehr als verdoppelt)