Mittelstufe Natur & Technik 10 Punkte · ~20 Min.

Elektrolytkondensator – Energie und Ladung

Aufgabenstellung

Ein handelsüblicher Elektrolytkondensator hat die Aufschrift C=4700  μFC = 4700\;\mu\text{F} / 15  V15\;\text{V}. Er wird vollständig auf seine Nennspannung U=15  VU = 15\;\text{V} aufgeladen.

Naturkonstanten: ε0=8,854⋅10−12  AsVm\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\;\frac{\text{As}}{\text{Vm}}, g=9,81  ms2g = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}

  • (a) Berechnen Sie die im Kondensator gespeicherte Energie WW. (2 BE)
  • (b) Berechnen Sie die auf den Platten gespeicherte Ladung QQ. (2 BE)
  • (c) Auf welche Höhe hh könnte man mit dieser Energie eine Masse von m=100  gm = 100\;\text{g} anheben? (3 BE)
  • (d) Im Inneren des Elektrolytkondensators dient eine dünne Oxidschicht als Dielektrikum mit der Dicke d=0,01  mmd = 0{,}01\;\text{mm} und der relativen Permittivität εr=10\varepsilon_r = 10. Berechnen Sie, welche Plattenfläche AA ein gleichwertiger Plattenkondensator benötigen würde. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Gespeicherte Energie (a)

Die im Kondensator gespeicherte Energie berechnet sich mit:

W=12⋅C⋅U2W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2

Einsetzen mit C=4700  μF=4,700⋅10−3  FC = 4700\;\mu\text{F} = 4{,}700 \cdot 10^{-3}\;\text{F}:

W=12⋅4,700⋅10−3  F⋅(15  V)2W = \frac{1}{2} \cdot 4{,}700 \cdot 10^{-3}\;\text{F} \cdot (15\;\text{V})^2

W=12⋅4,700⋅10−3⋅225  JW = \frac{1}{2} \cdot 4{,}700 \cdot 10^{-3} \cdot 225\;\text{J}

W≈0,529  J≈529  mJ\boxed{W \approx 0{,}529\;\text{J} \approx 529\;\text{mJ}}

Schritt 2: Gespeicherte Ladung (b)

Die Ladung auf den Kondensatorplatten berechnet sich mit:

Q=C⋅UQ = C \cdot U

Q=4,700⋅10−3  F⋅15  VQ = 4{,}700 \cdot 10^{-3}\;\text{F} \cdot 15\;\text{V}

Q=0,0705  C=70,5  mC\boxed{Q = 0{,}0705\;\text{C} = 70{,}5\;\text{mC}}

Schritt 3: Hubhöhe berechnen (c)

Die gespeicherte Energie WW soll vollständig in potenzielle Energie Epot=m⋅g⋅hE_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h umgewandelt werden:

W=m⋅g⋅hW = m \cdot g \cdot h

Umstellen nach hh:

h=Wm⋅gh = \frac{W}{m \cdot g}

Einsetzen mit m=100  g=0,100  kgm = 100\;\text{g} = 0{,}100\;\text{kg}:

h=0,529  J0,100  kg⋅9,81  ms2h = \frac{0{,}529\;\text{J}}{0{,}100\;\text{kg} \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}

h≈0,539  m≈54  cm\boxed{h \approx 0{,}539\;\text{m} \approx 54\;\text{cm}}

Die Energie eines solchen Kondensators reicht also gerade aus, um ein Gewicht von 100  g100\;\text{g} etwa einen halben Meter anzuheben – dies verdeutlicht, wie wenig Energie ein Kondensator im Vergleich zu einer Batterie speichert.

Schritt 4: Plattenfläche des äquivalenten Plattenkondensators (d)

Die Kapazität eines Plattenkondensators mit Dielektrikum lautet:

C=ε0⋅εr⋅AdC = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d}

Umstellen nach AA:

A=C⋅dε0⋅εrA = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r}

Einsetzen mit d=0,01  mm=1,0⋅10−5  md = 0{,}01\;\text{mm} = 1{,}0 \cdot 10^{-5}\;\text{m} und εr=10\varepsilon_r = 10:

A=4,700⋅10−3  F⋅1,0⋅10−5  m8,854⋅10−12  AsVm⋅10A = \frac{4{,}700 \cdot 10^{-3}\;\text{F} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-5}\;\text{m}}{8{,}854 \cdot 10^{-12}\;\frac{\text{As}}{\text{Vm}} \cdot 10}

A=4,700⋅10−88,854⋅10−11  m2A = \frac{4{,}700 \cdot 10^{-8}}{8{,}854 \cdot 10^{-11}}\;\text{m}^2

A≈531  m2\boxed{A \approx 531\;\text{m}^2}

Das entspricht einer quadratischen Platte mit einer Seitenlänge von etwa 23  m23\;\text{m} – dies erklärt, warum Elektrolytkondensatoren aufgewickelte Folien verwenden, um eine so große Fläche kompakt unterzubringen.

Ergebnis

FrageAntwort
Gespeicherte Energie WW≈529  mJ\approx 529\;\text{mJ}
Gespeicherte Ladung QQ≈70,5  mC\approx 70{,}5\;\text{mC}
Hubhöhe (100  g100\;\text{g})≈54  cm\approx 54\;\text{cm}
Äquivalente Plattenfläche≈531  m2\approx 531\;\text{m}^2