Kondensatorentladung im Defibrillator

Aufgabenstellung

Ein Defibrillator enthält einen Kondensator mit der Kapazität $C = 200\;\mu\text{F}$, der auf eine Spannung von $U_0 = 2000\;\text{V}$ geladen wird. Bei der Anwendung wird der Kondensator über den Körperwiderstand des Patienten ($R = 50\;\Omega$) entladen.

• (a) Berechnen Sie die im Kondensator gespeicherte Energie. (3 BE)
• (b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung $U(t)$ bei der Entladung und geben Sie die Funktionsgleichung an. (4 BE)
• (c) Berechnen Sie die Zeitkonstante $\tau = RC$ und die Halbwertszeit $t_{1/2}$. (4 BE)
• (d) Nach welcher Zeit ist die Spannung auf $10\,\%$ des Anfangswerts gesunken? (4 BE)
• (e) Der Hersteller gibt an, dass mindestens $150\;\text{J}$ beim Patienten ankommen müssen. Beurteilen Sie, ob dies bei einem Wirkungsgrad von $80\,\%$ erreicht wird. (5 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Gespeicherte Energie (a)

Die im Kondensator gespeicherte Energie berechnet sich mit:

$E = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_0^2$

Einsetzen mit $C = 200\;\mu\text{F} = 200 \cdot 10^{-6}\;\text{F} = 2{,}00 \cdot 10^{-4}\;\text{F}$:

$E = \frac{1}{2} \cdot 2{,}00 \cdot 10^{-4}\;\text{F} \cdot (2000\;\text{V})^2$

$E = \frac{1}{2} \cdot 2{,}00 \cdot 10^{-4} \cdot 4{,}00 \cdot 10^{6}\;\text{J}$

$\boxed{E = 400\;\text{J}}$

Schritt 2: Zeitlicher Verlauf der Spannung (b)

Bei der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand nimmt die Spannung exponentiell ab. Die Funktionsgleichung lautet:

$U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

$U(t) = 2000\;\text{V} \cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

Skizzenbeschreibung: Die Kurve beginnt bei $U(0) = U_0 = 2000\;\text{V}$ und fällt exponentiell gegen null ab. Nach einer Zeitkonstante $\tau$ beträgt die Spannung noch ca. $37\,\%$ des Anfangswerts ($U(\tau) \approx 736\;\text{V}$). Die Kurve nähert sich asymptotisch der Nulllinie.

$\boxed{U(t) = 2000\;\text{V} \cdot e^{-\frac{t}{0{,}010\;\text{s}}}}$

Schritt 3: Zeitkonstante und Halbwertszeit (c)

Zeitkonstante:

$\tau = R \cdot C = 50\;\Omega \cdot 200 \cdot 10^{-6}\;\text{F}$

$\boxed{\tau = 0{,}010\;\text{s} = 10\;\text{ms}}$

Halbwertszeit: Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der die Spannung auf die Hälfte gesunken ist, also $U(t_{1/2}) = \frac{U_0}{2}$:

$\frac{U_0}{2} = U_0 \cdot e^{-\frac{t_{1/2}}{\tau}}$

$\frac{1}{2} = e^{-\frac{t_{1/2}}{\tau}}$

Logarithmieren:

$\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{t_{1/2}}{\tau}$

$t_{1/2} = \tau \cdot \ln(2) = 0{,}010\;\text{s} \cdot 0{,}693$

$\boxed{t_{1/2} \approx 6{,}9\;\text{ms}}$

Schritt 4: Zeit bis $10\,\%$ des Anfangswerts (d)

Gesucht ist die Zeit $t_{10}$, zu der $U(t_{10}) = 0{,}10 \cdot U_0$ gilt:

$0{,}10 \cdot U_0 = U_0 \cdot e^{-\frac{t_{10}}{\tau}}$

$0{,}10 = e^{-\frac{t_{10}}{\tau}}$

Logarithmieren:

$\ln(0{,}10) = -\frac{t_{10}}{\tau}$

$t_{10} = -\tau \cdot \ln(0{,}10) = \tau \cdot \ln(10)$

$t_{10} = 0{,}010\;\text{s} \cdot 2{,}303$

$\boxed{t_{10} \approx 23\;\text{ms}}$

Kontrolle: Nach $23\;\text{ms}$ beträgt die Spannung $U(0{,}023) = 2000 \cdot e^{-2{,}3} \approx 2000 \cdot 0{,}100 = 200\;\text{V}$. Das entspricht $10\,\%$ von $2000\;\text{V}$. ✓

Schritt 5: Beurteilung des Wirkungsgrads (e)

Die gesamte im Kondensator gespeicherte Energie beträgt $E = 400\;\text{J}$ (siehe Schritt 1).

Bei einem Wirkungsgrad von $\eta = 80\,\% = 0{,}80$ beträgt die beim Patienten ankommende Energie:

$E_{\text{Patient}} = \eta \cdot E = 0{,}80 \cdot 400\;\text{J}$

$E_{\text{Patient}} = 320\;\text{J}$

Beurteilung:

Die beim Patienten ankommende Energie von $320\;\text{J}$ ist deutlich größer als die geforderten $150\;\text{J}$:

$E_{\text{Patient}} = 320\;\text{J} > 150\;\text{J} = E_{\text{min}}$

Die Anforderung wird mit einer Reserve von $170\;\text{J}$ erfüllt. Dies entspricht einem Faktor von $\frac{320}{150} \approx 2{,}1$ – die abgegebene Energie ist also mehr als doppelt so hoch wie der Mindestwert.

Die verbleibenden $20\,\%$ ($80\;\text{J}$) gehen als Wärme in den Zuleitungen, Elektroden und Kontaktwiderständen verloren.

$\boxed{E_{\text{Patient}} = 320\;\text{J} \gg 150\;\text{J} – \text{Anforderung wird sicher erfüllt}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Gespeicherte Energie	$E = 400\;\text{J}$
Entladekurve	$U(t) = 2000\;\text{V} \cdot e^{-t/(10\;\text{ms})}$
Zeitkonstante	$\tau = 10\;\text{ms}$
Halbwertszeit	$t_{1/2} \approx 6{,}9\;\text{ms}$
Zeit bis $10\,\%$	$t_{10} \approx 23\;\text{ms}$
Wirkungsgrad-Beurteilung	$320\;\text{J} > 150\;\text{J}$ – Anforderung erfüllt