Mittelstufe Natur & Technik 8 Punkte · ~15 Min.

Fallzeit aus der Höhe berechnen

Aufgabenstellung

Ein Stein wird aus 80 m80 \, \text{m} Höhe losgelassen (Anfangsgeschwindigkeit v0=0v_0 = 0). Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Gegeben:

  • Höhe: h=80 mh = 80 \, \text{m}
  • Erdbeschleunigung: g=9,81 ms2g = 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}
  • Anfangsgeschwindigkeit: v0=0 msv_0 = 0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}

Gesucht:

  • (a) Die Fallzeit tt, bis der Stein den Boden erreicht.
  • (b) Die Aufprallgeschwindigkeit vv beim Auftreffen auf dem Boden.
  • (c) Die zurückgelegte Fallstrecke nach t=2 st = 2 \, \text{s} und die verbleibende Höhe.

Lösungsweg

Schritt 1: Fallzeit berechnen

Das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls lautet:

h=12 g t2h = \frac{1}{2} \, g \, t^2

Wir lösen nach tt auf:

t=2hgt = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Einsetzen der Werte:

t=2⋅80 m9,81 ms2=1609,81 s2=16,31 s2t = \sqrt{\frac{2 \cdot 80 \, \text{m}}{9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = \sqrt{\frac{160}{9{,}81} \, \text{s}^2} = \sqrt{16{,}31 \, \text{s}^2}

t≈4,04 s\boxed{t \approx 4{,}04 \, \text{s}}

Schritt 2: Aufprallgeschwindigkeit berechnen

Die Geschwindigkeit beim freien Fall ergibt sich aus:

v=g⋅tv = g \cdot t

Einsetzen:

v=9,81 ms2⋅4,04 sv = 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4{,}04 \, \text{s}

v≈39,6 ms≈142,6 kmh\boxed{v \approx 39{,}6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 142{,}6 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}}

Alternativ kann die Aufprallgeschwindigkeit ohne Umweg über die Zeit berechnet werden:

v=2 g h=2⋅9,81⋅80 ms=1569,6 ms≈39,6 msv = \sqrt{2 \, g \, h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 80} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{1569{,}6} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 39{,}6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}

Schritt 3: Fallstrecke nach 2 Sekunden

Wir setzen t=2 st = 2 \, \text{s} in das Weg-Zeit-Gesetz ein:

s=12 g t2=12⋅9,81 ms2⋅(2 s)2s = \frac{1}{2} \, g \, t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2 \, \text{s})^2

s=12⋅9,81⋅4 m=19,62 ms = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 4 \, \text{m} = 19{,}62 \, \text{m}

Die verbleibende Höhe über dem Boden beträgt:

hrest=80 m−19,62 mh_{\text{rest}} = 80 \, \text{m} - 19{,}62 \, \text{m}

hrest=60,38 m\boxed{h_{\text{rest}} = 60{,}38 \, \text{m}}

Ergebnis

GrößeWert
Fallzeit bis zum Bodent≈4,04 st \approx 4{,}04 \, \text{s}
Aufprallgeschwindigkeitv≈39,6 ms≈142,6 kmhv \approx 39{,}6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 142{,}6 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}
Fallstrecke nach 2 ss≈19,62 ms \approx 19{,}62 \, \text{m}
Verbleibende Höhe nach 2 shrest≈60,38 mh_{\text{rest}} \approx 60{,}38 \, \text{m}

Beobachtung: Nach der Hälfte der Fallzeit (≈2 s\approx 2 \, \text{s}) hat der Stein erst etwa ein Viertel der Gesamtstrecke zurückgelegt. Das liegt daran, dass die Fallstrecke quadratisch mit der Zeit zunimmt – der Stein wird immer schneller.