Achterbahn – Energieerhaltung und Kräfte

Aufgabenstellung

Ein Achterbahnwagen der Masse $m = 400\;\text{kg}$ (einschließlich Fahrgäste) startet aus der Ruhe am Punkt A in der Höhe $h_A = 35\;\text{m}$. Die Bahn führt hinab zum tiefsten Punkt B (Bodenniveau), durch einen vertikalen Looping (Scheitelpunkt D), zurück zum Boden bei C, über eine Kuppe bei E und schließlich zum Punkt G in der Höhe $h_G = 6\;\text{m}$. Die Reibung ist zunächst vernachlässigbar. Verwenden Sie $g = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

Gegeben: $h_A = 35\;\text{m}$, $h_G = 6\;\text{m}$, Krümmungsradius der Mulde bei B: $r_1 = 6\;\text{m}$, Loopingradius: $r_2$, Streckenabschnitte: AB $= 50\;\text{m}$, BC $= 30\;\text{m}$, CD $= 30\;\text{m}$, DE $= 30\;\text{m}$, EF $= 20\;\text{m}$, FG $= 30\;\text{m}$, Gesamtstrecke $s = 190\;\text{m}$.

• (a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Wagens am tiefsten Punkt B. (4 BE)
• (b) Ein Fahrgast der Masse $m_P = 80\;\text{kg}$ sitzt im Wagen. Berechnen Sie die Normalkraft, die der Sitz am Punkt B auf den Fahrgast ausübt. (5 BE)
• (c) Bestimmen Sie den maximalen Loopingradius $r_2$, bei dem der Wagen am Scheitelpunkt D gerade noch nicht von der Bahn abhebt. (6 BE)
• (d) Erstellen Sie eine tabellarische Übersicht der Geschwindigkeiten an den Streckenendpunkten A–G (ohne Reibung) und skizzieren Sie ein $v$-$s$-Diagramm. (4 BE)
• (e) In der Realität erreicht der Wagen den Punkt G mit einer Geschwindigkeit von $v_G = 9\;\frac{\text{km}}{\text{h}} = 2{,}5\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Berechnen Sie die mittlere Reibungskraft $F_R$ über die gesamte Strecke. (6 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Geschwindigkeit am tiefsten Punkt B (a)

Der Wagen startet aus der Ruhe ($v_A = 0$). Am Punkt B befindet er sich auf Bodenniveau ($h_B = 0$). Mit dem Energieerhaltungssatz gilt:

$E_{\text{pot}}(A) = E_{\text{kin}}(B)$

$m \cdot g \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_B^2$

Die Masse kürzt sich heraus:

$v_B = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_A}$

Einsetzen:

$v_B = \sqrt{2 \cdot 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 35\;\text{m}}$

$v_B = \sqrt{686{,}7\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$

$\boxed{v_B \approx 26{,}2\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 94{,}3\;\frac{\text{km}}{\text{h}}}$

Schritt 2: Normalkraft auf den Fahrgast am Punkt B (b)

Am tiefsten Punkt B bewegt sich der Wagen auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius $r_1 = 6\;\text{m}$. Für die Kreisbewegung muss die resultierende Kraft nach oben (zum Kreismittelpunkt) die Zentripetalkraft liefern.

Kräftebilanz am Fahrgast (positiv nach oben zum Kreismittelpunkt):

$F_N - m_P \cdot g = \frac{m_P \cdot v_B^2}{r_1}$

$F_N = m_P \cdot g + \frac{m_P \cdot v_B^2}{r_1}$

$F_N = m_P \left(g + \frac{v_B^2}{r_1}\right)$

Einsetzen mit $m_P = 80\;\text{kg}$, $v_B^2 = 686{,}7\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$:

$F_N = 80\;\text{kg} \cdot \left(9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} + \frac{686{,}7\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{6\;\text{m}}\right)$

$F_N = 80\;\text{kg} \cdot \left(9{,}81 + 114{,}45\right)\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

$F_N = 80\;\text{kg} \cdot 124{,}26\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

$\boxed{F_N \approx 9\;941\;\text{N} \approx 9{,}94\;\text{kN}}$

Interpretation: Die Normalkraft entspricht dem $\frac{F_N}{m_P \cdot g} \approx 12{,}7$-Fachen der Gewichtskraft. Der Fahrgast spürt also eine Belastung von ca. $12{,}7\;g$ – in der Realität wäre dies unzulässig, da Achterbahnen auf ca. $4$–$6\;g$ ausgelegt werden. Der kleine Krümmungsradius $r_1 = 6\;\text{m}$ erzeugt hier einen extremen Wert.

Schritt 3: Maximaler Loopingradius (c)

Am Scheitelpunkt D des Loopings (Höhe $h_D = 2\,r_2$) muss der Wagen gerade noch die Kreisbahn durchlaufen. Die kritische Bedingung ist, dass am höchsten Punkt die Gewichtskraft allein die nötige Zentripetalkraft liefert (die Normalkraft der Bahn wird gerade null):

$m \cdot g = \frac{m \cdot v_D^2}{r_2}$

Daraus folgt die Mindestgeschwindigkeit am Scheitelpunkt:

$v_D^2 = g \cdot r_2$

Nun wird der Energieerhaltungssatz von A nach D angewendet:

$m \cdot g \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_D^2 + m \cdot g \cdot 2\,r_2$

Die Masse kürzt sich heraus. Einsetzen von $v_D^2 = g \cdot r_2$:

$g \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot r_2 + g \cdot 2\,r_2$

$h_A = \frac{1}{2}\,r_2 + 2\,r_2$

$h_A = \frac{5}{2}\,r_2$

$r_2 = \frac{2}{5} \cdot h_A$

Einsetzen:

$r_2 = \frac{2}{5} \cdot 35\;\text{m}$

$\boxed{r_2 = 14\;\text{m}}$

Probe: Der Scheitelpunkt liegt bei $h_D = 2 \cdot 14\;\text{m} = 28\;\text{m}$. Die Geschwindigkeit dort beträgt $v_D = \sqrt{g \cdot r_2} = \sqrt{9{,}81 \cdot 14}\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 11{,}7\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Energiekontrolle: $\frac{1}{2} \cdot v_D^2 + g \cdot 2r_2 = \frac{1}{2} \cdot 137{,}3 + 9{,}81 \cdot 28 = 68{,}7 + 274{,}7 = 343{,}4 \approx g \cdot h_A = 343{,}4\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$ $\checkmark$

Hinweis zur Aufgabe: Im Folgenden wird für die Teile (d) und (e) ein konkreter Loopingradius von $r_2 = 9{,}55\;\text{m}$ verwendet (Scheitelpunkt bei $h_D = 19{,}1\;\text{m}$), der deutlich unter dem Maximalwert liegt und eine realistische Achterbahngeometrie ergibt.

Schritt 4: Geschwindigkeiten und $v$-$s$-Diagramm (d)

Mit $r_2 = 9{,}55\;\text{m}$ ergeben sich die Höhen: $h_A = 35\;\text{m}$, $h_B = 0$, $h_D = 2 \cdot 9{,}55 = 19{,}1\;\text{m}$, $h_C = 0$ (Bodenniveau nach Looping), $h_E = 12\;\text{m}$ (Kuppe, gewählt), $h_F = 0$ (Boden), $h_G = 6\;\text{m}$.

Der Energieerhaltungssatz $v = \sqrt{2g(h_A - h)}$ liefert:

Punkt	Strecke $s$ / m	Höhe $h$ / m	$v = \sqrt{2g(h_A - h)}$ / $\frac{\text{m}}{\text{s}}$
A	$0$	$35{,}0$	$0$ (Start aus Ruhe)
B	$50$	$0$	$\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 35} \approx 26{,}2$
D (Looping oben)	$80$	$19{,}1$	$\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 15{,}9} \approx 17{,}7$
C	$110$	$0$	$\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 35} \approx 26{,}2$
E (Kuppe)	$140$	$12{,}0$	$\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 23} \approx 21{,}2$
F	$160$	$0$	$\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 35} \approx 26{,}2$
G	$190$	$6{,}0$	$\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 29} \approx 23{,}9$

Interpretation: Die Geschwindigkeit hängt nur von der Höhendifferenz zu A ab. Auf gleicher Höhe (B, C, F) ist die Geschwindigkeit identisch. Die Geschwindigkeit ist an den tiefsten Punkten am größten und nimmt mit der Höhe ab.

Schritt 5: Mittlere Reibungskraft (e)

In der Realität erreicht der Wagen den Punkt G mit $v_G = 2{,}5\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ statt der theoretischen $23{,}9\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Die Differenz erklärt sich durch Reibung.

Energiebilanz mit Reibung über die gesamte Strecke $s = 190\;\text{m}$:

$E_{\text{pot}}(A) = E_{\text{kin}}(G) + E_{\text{pot}}(G) + W_R$

$m \cdot g \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_G^2 + m \cdot g \cdot h_G + F_R \cdot s$

Umstellen nach $F_R$:

$F_R = \frac{m \cdot g \cdot h_A - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_G^2 - m \cdot g \cdot h_G}{s}$

$F_R = \frac{m \left(g \cdot h_A - \frac{1}{2} \cdot v_G^2 - g \cdot h_G\right)}{s}$

Einsetzen:

$F_R = \frac{400\;\text{kg} \cdot \left(9{,}81 \cdot 35 - \frac{1}{2} \cdot 2{,}5^2 - 9{,}81 \cdot 6\right)\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{190\;\text{m}}$

Zähler berechnen:

$g \cdot h_A = 9{,}81 \cdot 35 = 343{,}35\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

$\frac{1}{2} \cdot v_G^2 = \frac{1}{2} \cdot 6{,}25 = 3{,}125\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

$g \cdot h_G = 9{,}81 \cdot 6 = 58{,}86\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

$\text{Klammer} = 343{,}35 - 3{,}125 - 58{,}86 = 281{,}37\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

$F_R = \frac{400 \cdot 281{,}37}{190}\;\text{N} = \frac{112\;547}{190}\;\text{N}$

$\boxed{F_R \approx 592\;\text{N}}$

Interpretation: Die mittlere Reibungskraft von ca. $592\;\text{N}$ entspricht etwa $15\;\%$ der Gewichtskraft des Wagens ($F_G = 400 \cdot 9{,}81 \approx 3\;924\;\text{N}$). Dies ist ein realistischer Wert für eine Achterbahn, bei der Rollreibung, Luftwiderstand und Reibung in den Führungsschienen zusammenwirken.

Die durch Reibung dissipierte Energie beträgt:

$W_R = F_R \cdot s = 592 \cdot 190\;\text{J} \approx 112{,}5\;\text{kJ}$

Von der anfänglichen potenziellen Energie ($E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h_A \approx 137{,}3\;\text{kJ}$) gehen also rund $82\;\%$ durch Reibung verloren.

Ergebnis

Frage	Antwort
Geschwindigkeit bei B	$v_B \approx 26{,}2\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ($94{,}3\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$)
Normalkraft bei B	$F_N \approx 9{,}94\;\text{kN}$ ($12{,}7\;g$)
Maximaler Loopingradius	$r_2 = 14\;\text{m}$
Geschwindigkeit bei G (reibungsfrei)	$v_G \approx 23{,}9\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$
Mittlere Reibungskraft	$F_R \approx 592\;\text{N}$