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Bohrsches Atommodell: Energieniveaus des Wasserstoffs

Aufgabenstellung

Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nach dem Bohrschen Atommodell lauten:

En=−13,6  eVn2E_n = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{n^2}

  • (a) Berechnen Sie die Energien E1E_1, E2E_2, E3E_3 und E4E_4 und zeichnen Sie ein Energieniveauschema. (4 BE)
  • (b) Berechnen Sie die Wellenlänge des Photons, das beim Übergang n=3→n=2n = 3 \to n = 2 (Balmer-Serie, HαH_\alpha) emittiert wird. (4 BE)
  • (c) Ein Wasserstoffatom im Grundzustand (n=1n = 1) wird mit einem Photon der Energie 12,5  eV12{,}5\;\text{eV} bestrahlt. Entscheiden Sie, ob dieses Photon absorbiert werden kann, und begründen Sie Ihre Antwort. (4 BE)
  • (d) Erklären Sie den Unterschied zwischen einem Emissions- und einem Absorptionsspektrum am Beispiel Wasserstoff und nennen Sie jeweils eine Beobachtungssituation. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Energieniveaus berechnen (a)

Mit En=−13,6  eVn2E_n = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{n^2}:

E1=−13,6  eV12=−13,6  eVE_1 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{1^2} = -13{,}6\;\text{eV}

E2=−13,6  eV22=−13,64  eV=−3,4  eVE_2 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{2^2} = -\frac{13{,}6}{4}\;\text{eV} = -3{,}4\;\text{eV}

E3=−13,6  eV32=−13,69  eV≈−1,51  eVE_3 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{3^2} = -\frac{13{,}6}{9}\;\text{eV} \approx -1{,}51\;\text{eV}

E4=−13,6  eV42=−13,616  eV=−0,85  eVE_4 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{4^2} = -\frac{13{,}6}{16}\;\text{eV} = -0{,}85\;\text{eV}

Energieniveauschema: Man zeichnet horizontale Linien bei den berechneten Energien auf einer vertikalen EE-Achse. Der Grundzustand n=1n = 1 liegt am tiefsten (−13,6  eV-13{,}6\;\text{eV}), die höheren Niveaus rücken mit steigendem nn näher zusammen und nähern sich der Ionisierungsenergie E=0  eVE = 0\;\text{eV} (freies Elektron).

E1=−13,6  eV,E2=−3,4  eV,E3=−1,51  eV,E4=−0,85  eV\boxed{E_1 = -13{,}6\;\text{eV}, \quad E_2 = -3{,}4\;\text{eV}, \quad E_3 = -1{,}51\;\text{eV}, \quad E_4 = -0{,}85\;\text{eV}}

Schritt 2: Wellenlänge des HαH_\alpha-Übergangs (b)

Beim Übergang n=3→n=2n = 3 \to n = 2 wird ein Photon emittiert, dessen Energie der Differenz der Energieniveaus entspricht:

ΔE=E3−E2=(−1,51  eV)−(−3,4  eV)=1,89  eV\Delta E = E_3 - E_2 = (-1{,}51\;\text{eV}) - (-3{,}4\;\text{eV}) = 1{,}89\;\text{eV}

Umrechnung in Joule:

ΔE=1,89  eV⋅1,602⋅10−19  JeV=3,03⋅10−19  J\Delta E = 1{,}89\;\text{eV} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\frac{\text{J}}{\text{eV}} = 3{,}03 \cdot 10^{-19}\;\text{J}

Mit ΔE=hcλ\Delta E = \frac{hc}{\lambda} folgt:

λ=hcΔE=6,626⋅10−34  J s⋅3,0⋅108  ms3,03⋅10−19  J\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J\,s} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{3{,}03 \cdot 10^{-19}\;\text{J}}

λ=1,988⋅10−253,03⋅10−19  m=6,56⋅10−7  m\lambda = \frac{1{,}988 \cdot 10^{-25}}{3{,}03 \cdot 10^{-19}}\;\text{m} = 6{,}56 \cdot 10^{-7}\;\text{m}

λ≈656  nm\lambda \approx 656\;\text{nm}

Dies liegt im roten Bereich des sichtbaren Lichts und entspricht der charakteristischen HαH_\alpha-Linie der Balmer-Serie.

λ≈656  nm(rotes Licht, Hα-Linie)\boxed{\lambda \approx 656\;\text{nm} \quad (\text{rotes Licht, } H_\alpha\text{-Linie})}

Schritt 3: Absorption eines 12,5  eV12{,}5\;\text{eV}-Photons (c)

Das Wasserstoffatom befindet sich im Grundzustand n=1n = 1 mit E1=−13,6  eVE_1 = -13{,}6\;\text{eV}.

Bei Absorption eines Photons der Energie 12,5  eV12{,}5\;\text{eV} würde das Atom in ein Niveau mit folgender Energie übergehen:

Eend=E1+12,5  eV=−13,6  eV+12,5  eV=−1,1  eVE_{\text{end}} = E_1 + 12{,}5\;\text{eV} = -13{,}6\;\text{eV} + 12{,}5\;\text{eV} = -1{,}1\;\text{eV}

Prüfung, ob −1,1  eV-1{,}1\;\text{eV} einem erlaubten Energieniveau entspricht:

  • E3=−1,51  eVE_3 = -1{,}51\;\text{eV} → Übergang 1→31 \to 3 erfordert 13,6−1,51=12,09  eV13{,}6 - 1{,}51 = 12{,}09\;\text{eV} ✗
  • E4=−0,85  eVE_4 = -0{,}85\;\text{eV} → Übergang 1→41 \to 4 erfordert 13,6−0,85=12,75  eV13{,}6 - 0{,}85 = 12{,}75\;\text{eV} ✗

Der Wert −1,1  eV-1{,}1\;\text{eV} liegt zwischen E3E_3 und E4E_4 und entspricht keinem erlaubten Energieniveau.

Entscheidung: Das Photon kann nicht absorbiert werden.

Begründung: Im Bohrschen Atommodell sind nur diskrete Energieniveaus erlaubt. Ein Photon kann nur dann absorbiert werden, wenn seine Energie exakt der Differenz zwischen zwei erlaubten Niveaus entspricht. Da 12,5  eV12{,}5\;\text{eV} keiner solchen Differenz vom Grundzustand entspricht, findet keine Absorption statt.

Nein – 12,5  eV passt zu keinem erlaubten U¨bergang vom Grundzustand\boxed{\text{Nein – } 12{,}5\;\text{eV} \text{ passt zu keinem erlaubten Übergang vom Grundzustand}}

Schritt 4: Emissions- und Absorptionsspektrum (d)

Emissionsspektrum:

  • Entsteht, wenn angeregte Wasserstoffatome aus höheren Niveaus in tiefere Niveaus übergehen und dabei Photonen abgeben.
  • Es besteht aus einzelnen hellen Linien auf dunklem Hintergrund (Linienspektrum).
  • Beobachtungssituation: Gasentladungsröhre mit Wasserstoffgas – das leuchtende Gas wird durch ein Prisma oder Gitter beobachtet. Man sieht die Balmer-Serie als farbige Linien (rot, blaugrün, violett).

Absorptionsspektrum:

  • Entsteht, wenn weißes Licht (kontinuierliches Spektrum) durch kühles Wasserstoffgas geschickt wird. Die Atome absorbieren Photonen genau jener Wellenlängen, die den erlaubten Übergängen entsprechen.
  • Es besteht aus dunklen Linien (Fraunhofer-Linien) im ansonsten kontinuierlichen Spektrum.
  • Beobachtungssituation: Sonnenlicht – in der kühleren Sonnenatmosphäre absorbiert Wasserstoff bestimmte Wellenlängen. Im Sonnenspektrum erscheinen die Balmer-Linien als dunkle Absorptionslinien.

Zusammenhang: Die dunklen Linien im Absorptionsspektrum liegen bei exakt denselben Wellenlängen wie die hellen Linien im Emissionsspektrum.

Emission: helle Linien (Gasentladung); Absorption: dunkle Linien (Sonnenspektrum)\boxed{\text{Emission: helle Linien (Gasentladung); Absorption: dunkle Linien (Sonnenspektrum)}}

Ergebnis

FrageAntwort
EnergieniveausE1=−13,6  eVE_1 = -13{,}6\;\text{eV}; E2=−3,4  eVE_2 = -3{,}4\;\text{eV}; E3=−1,51  eVE_3 = -1{,}51\;\text{eV}; E4=−0,85  eVE_4 = -0{,}85\;\text{eV}
HαH_\alpha-Wellenlängeλ≈656  nm\lambda \approx 656\;\text{nm} (rotes Licht)
12,5  eV12{,}5\;\text{eV}-PhotonKeine Absorption – kein passendes Energieniveau
SpektrenvergleichEmission: helle Linien; Absorption: dunkle Linien bei gleichen λ\lambda