Glücksrad – Erwartungswert und faires Spiel

Aufgabenstellung

Ein Glücksrad hat vier Sektoren mit folgenden Gewinnbeträgen und Wahrscheinlichkeiten:

Sektor	Gewinn	Anteil
Rot	$0$ €	$50\,\%$
Blau	$2$ €	$30\,\%$
Grün	$5$ €	$15\,\%$
Gold	$20$ €	$5\,\%$

Der Einsatz pro Spiel beträgt $2$ €.

• (a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ (Gewinn) als Tabelle auf.
• (b) Berechnen Sie den Erwartungswert $E(X)$ des Gewinns.
• (c) Vergleichen Sie $E(X)$ mit dem Einsatz. Lohnt sich das Spiel auf lange Sicht?
• (d) Welcher Einsatz wäre fair?

Lösungsweg

Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung (a)

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den Gewinnbetrag. Die Wahrscheinlichkeiten werden als Dezimalzahlen angegeben:

$x_i$	$0$	$2$	$5$	$20$
$P(X = x_i)$	$0{,}50$	$0{,}30$	$0{,}15$	$0{,}05$

Kontrollsumme:

$\sum P(X = x_i) = 0{,}50 + 0{,}30 + 0{,}15 + 0{,}05 = 1{,}00 \; ✓$

Schritt 2: Erwartungswert berechnen (b)

$E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$

$E(X) = 0 \cdot 0{,}50 + 2 \cdot 0{,}30 + 5 \cdot 0{,}15 + 20 \cdot 0{,}05$

$E(X) = 0 + 0{,}60 + 0{,}75 + 1{,}00$

$\boxed{E(X) = 2{,}35\text{ EUR}}$

Schritt 3: Vergleich mit dem Einsatz (c)

Der Einsatz beträgt $2$ €, der erwartete Gewinn $E(X) = 2{,}35$ €.

Der erwartete Reingewinn pro Spiel ist:

$E(X) - \text{Einsatz} = 2{,}35 - 2{,}00 = 0{,}35 \text{ EUR}$

Da $E(X) > \text{Einsatz}$, lohnt sich das Spiel auf lange Sicht für den Spieler.

$\boxed{\text{Ja, das Spiel lohnt sich – im Mittel gewinnt man } 0{,}35\text{ EUR} \text{ pro Spiel.}}$

Schritt 4: Fairer Einsatz (d)

Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Reingewinn gleich null ist, also wenn der Einsatz dem Erwartungswert entspricht:

$\text{Einsatz}_\text{fair} = E(X)$

$\boxed{\text{Einsatz}_\text{fair} = 2{,}35\text{ EUR}}$

Bei einem Einsatz von $2{,}35$ € wäre das Spiel fair – weder Spieler noch Betreiber hätten langfristig einen Vorteil.

Ergebnis

Frage	Antwort
$E(X)$	$2{,}35$ €
Lohnt sich das Spiel?	Ja, $E(X) > \text{Einsatz}$ (Vorteil: $0{,}35$ € pro Spiel)
Fairer Einsatz	$2{,}35$ €