Würfel: Schnittfläche und Teilkörper

Aufgabenstellung

Ein Würfel $ABCDEFGH$ hat die Kantenlänge $6$. Die Eckpunkte sind $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(6|6|0)$, $D(0|6|0)$, $E(0|0|6)$, $F(6|0|6)$, $G(6|6|6)$, $H(0|6|6)$.

$M$ sei der Mittelpunkt der Kante $\overline{FG}$.

• (a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $K$, die durch die Punkte $A$, $B$ und $M$ verläuft.
• (b) Berechnen Sie das Volumen des Teilkörpers, der den Punkt $D$ enthält und durch die Ebene $K$ vom Würfel abgetrennt wird.

Lösungsweg

Schritt 1: Ebenengleichung bestimmen (a)

$A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $M = \frac{1}{2}(F + G) = \frac{1}{2}\bigl((6|0|6) + (6|6|6)\bigr) = (6|3|6)$

Richtungsvektoren:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{AM} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

Normalenvektor:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AM} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 6 - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 6 - 6 \cdot 6 \\ 6 \cdot 3 - 0 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -36 \\ 18 \end{pmatrix} = 18\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ebenengleichung mit Aufpunkt $A(0|0|0)$:

$-2x_2 + x_3 = 0$

$\boxed{K\colon -2x_2 + x_3 = 0 \quad \text{bzw.} \quad x_3 = 2x_2}$

Kontrolle: $A$: $0 = 0$ ✓, $B$: $0 = 0$ ✓, $M$: $-6 + 6 = 0$ ✓

Schritt 2: Schnittfigur des Würfels

Die Ebene $K\colon x_3 = 2x_2$ schneidet die Würfelflächen:

• Untere Fläche ($x_3 = 0$): $x_2 = 0$ $\Rightarrow$ Kante $\overline{AB}$
• Obere Fläche ($x_3 = 6$): $x_2 = 3$ $\Rightarrow$ Linie von $(0|3|6)$ bis $(6|3|6)$ $= \overline{HM'}$, wobei $M' = (0|3|6)$ der Mittelpunkt von $\overline{EH}$
• Rechte Fläche ($x_1 = 6$): von $B(6|0|0)$ bis $M(6|3|6)$
• Linke Fläche ($x_1 = 0$): von $A(0|0|0)$ bis $M'(0|3|6)$

Die Schnittfigur ist ein Trapez $ABM M'$ mit $M' = (0|3|6)$.

Schritt 3: Volumen des Teilkörpers (b)

Die Ebene $K$ teilt den Würfel. Der Teilkörper mit $D$ hat die Ecken $A$, $B$, $C$, $D$, $M'$, $M$, $G$, $H$.

Dieser Körper ist ein Prisma-artiger Körper. Berechnung über Differenz:

Gesamtwürfel: $V_{\text{Würfel}} = 6^3 = 216$

Teilkörper ohne $D$ (mit $E$, $F$): Ein dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche als Dreieck $AEM'$ (bzw. $BFM$) mit Prismenlänge $6$.

Dreieck auf der linken Seite ($x_1 = 0$): Ecken $A(0|0|0)$, $E(0|0|6)$, $M'(0|3|6)$.

$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |AE| \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$

Volumen des abgeschnittenen Prismas:

$V_{\text{Prisma}} = A_{\triangle} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$

Volumen des Teilkörpers mit $D$:

$V = 216 - 54 = 162$

$\boxed{V = 162 \; \text{VE}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Ebenengleichung $K$	$-2x_2 + x_3 = 0$
Volumen Teilkörper mit $D$	$162$ VE