Wendepunkt, Tangente und Integral einer Funktionenschar

Aufgabenstellung

Für $a \in \mathbb{R}$ ist die Funktionenschar $f_a$ definiert durch

$f_a(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax + 2a, \quad x \in \mathbb{R}$

• (a) Zeigen Sie, dass der Graph von $f_a$ für jedes $a$ einen Wendepunkt im Punkt $W(0 \mid 2a)$ hat. (3 BE)
• (b) Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den $\displaystyle\int_{-1}^{1} f_a(x) \, dx = 0$ gilt. (5 BE)
• (c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_3$ im Wendepunkt. (3 BE)
• (d) Für $a > 0$ hat $f_a$ zwei Extremstellen. Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte und geben Sie an, welche Extremstelle ein Maximum und welche ein Minimum ist. (5 BE)
• (e) Ermitteln Sie den Wert von $a > 0$, für den der Hochpunkt von $f_a$ auf der $x$-Achse liegt. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Wendepunkt nachweisen (a)

$f_a'(x) = x^2 - a$

$f_a''(x) = 2x$

$f_a''(0) = 0$ (notwendige Bedingung) und $f_a'''(x) = 2 \neq 0$ (hinreichende Bedingung).

Also liegt bei $x = 0$ ein Wendepunkt.

$f_a(0) = 0 - 0 + 2a = 2a$

$\boxed{W(0 \mid 2a) \text{ ist Wendepunkt für alle } a \in \mathbb{R}. \quad \square}$

Schritt 2: Integral gleich null (b)

$\int_{-1}^{1} f_a(x) \, dx = \int_{-1}^{1} \left(\frac{1}{3}x^3 - ax + 2a\right) dx$

$\frac{1}{3}x^3$ und $-ax$ sind ungerade Funktionen – ihr Integral über $[-1; 1]$ ist jeweils $0$.

$= \int_{-1}^{1} 2a \, dx = 2a \cdot 2 = 4a$

Also: $4a = 0 \Rightarrow a = 0$.

$\boxed{a = 0}$

Bemerkung: Für $a = 0$ ist $f_0(x) = \frac{1}{3}x^3$, eine ungerade Funktion, deren Integral über jedes symmetrische Intervall null ist.

Schritt 3: Tangente im Wendepunkt (c)

$f_3(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x + 6$

Wendepunkt: $W(0 \mid 6)$

Steigung: $f_3'(0) = 0 - 3 = -3$

$\boxed{t\colon y = -3x + 6}$

Schritt 4: Extremstellen für $a > 0$ (d)

$f_a'(x) = x^2 - a = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{a}$

$f_a''(\sqrt{a}) = 2\sqrt{a} > 0$ $\Rightarrow$ lokales Minimum bei $x = \sqrt{a}$

$f_a''(-\sqrt{a}) = -2\sqrt{a} < 0$ $\Rightarrow$ lokales Maximum bei $x = -\sqrt{a}$

Funktionswerte:

$f_a(\sqrt{a}) = \frac{1}{3}a\sqrt{a} - a\sqrt{a} + 2a = -\frac{2}{3}a\sqrt{a} + 2a = 2a - \frac{2}{3}a^{3/2}$

$f_a(-\sqrt{a}) = -\frac{1}{3}a\sqrt{a} + a\sqrt{a} + 2a = \frac{2}{3}a\sqrt{a} + 2a = 2a + \frac{2}{3}a^{3/2}$

$\boxed{\text{Maximum: } \left(-\sqrt{a} \;\middle|\; 2a + \frac{2}{3}a^{3/2}\right), \quad \text{Minimum: } \left(\sqrt{a} \;\middle|\; 2a - \frac{2}{3}a^{3/2}\right)}$

Schritt 5: Hochpunkt auf der $x$-Achse (e)

Bedingung: $f_a(-\sqrt{a}) = 0$

$2a + \frac{2}{3}a^{3/2} = 0$

Da $a > 0$: Dividieren durch $2a$:

$1 + \frac{1}{3}\sqrt{a} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{a} = -3$

Das hat keine Lösung für $a > 0$!

Korrektur – der Hochpunkt auf der $x$-Achse: wir prüfen den Tiefpunkt $f_a(\sqrt{a}) = 0$:

$2a - \frac{2}{3}a^{3/2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a\left(1 - \frac{1}{3}\sqrt{a}\right) = 0$

Da $a > 0$: $1 - \frac{1}{3}\sqrt{a} = 0 \Rightarrow \sqrt{a} = 3 \Rightarrow a = 9$

Hmm, die Aufgabe fragt nach dem Hochpunkt. Prüfen wir nochmals: Der Hochpunkt liegt bei $(-\sqrt{a} \mid 2a + \frac{2}{3}a^{3/2})$. Dieser $y$-Wert ist für $a > 0$ stets positiv, also liegt der Hochpunkt nie auf der $x$-Achse.

Der Tiefpunkt hingegen kann auf der $x$-Achse liegen:

$\boxed{a = 9: \text{ Der Tiefpunkt } T(3 \mid 0) \text{ liegt auf der } x\text{-Achse.}}$

Schritt 6: Zusammenfassung

Frage	Antwort
Wendepunkt	$W(0 \mid 2a)$ für alle $a$
$a$ für Integral $= 0$	$a = 0$
Tangente ($a = 3$)	$t\colon y = -3x + 6$
Hochpunkt	$(-\sqrt{a} \mid 2a + \frac{2}{3}a^{3/2})$
Tiefpunkt	$(\sqrt{a} \mid 2a - \frac{2}{3}a^{3/2})$
Tiefpunkt auf $x$-Achse	$a = 9$, Tiefpunkt $T(3 \mid 0)$