Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgabenstellung

Bei einem Streaming-Dienst besitzen die meisten Nutzerinnen und Nutzer ein Premium-Konto. Im Folgenden werden ausschließlich diese Personen betrachtet.

$65\,\%$ der Personen sind unter $30$ Jahre alt. $20\,\%$ der Personen sind unter $30$ Jahre alt und nützen den Dienst nicht täglich. Der Anteil der Personen, die den Dienst täglich nützen, beträgt $70\,\%$.

• (a) Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
• (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person, die den Dienst täglich nützt, unter $30$ Jahre alt ist.
• (c) Prüfen Sie, ob die Ereignisse „unter $30$ Jahre alt” und „nützt den Dienst täglich” stochastisch unabhängig sind.

Lösungsweg

Schritt 1: Vierfeldertafel aufstellen (a)

Bezeichnungen:

• $J$: „Person ist unter $30$ Jahre alt”
• $T$: „Person nützt den Dienst täglich”

Gegeben: $P(J) = 0{,}65$, $P(J \cap \bar{T}) = 0{,}20$, $P(T) = 0{,}70$

Daraus:

• $P(J \cap T) = P(J) - P(J \cap \bar{T}) = 0{,}65 - 0{,}20 = 0{,}45$
• $P(\bar{J}) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35$
• $P(\bar{T}) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30$
• $P(\bar{J} \cap T) = P(T) - P(J \cap T) = 0{,}70 - 0{,}45 = 0{,}25$
• $P(\bar{J} \cap \bar{T}) = P(\bar{J}) - P(\bar{J} \cap T) = 0{,}35 - 0{,}25 = 0{,}10$

	$J$	$\bar{J}$	Summe
$T$	$0{,}45$	$0{,}25$	$0{,}70$
$\bar{T}$	$0{,}20$	$0{,}10$	$0{,}30$
Summe	$0{,}65$	$0{,}35$	$1{,}00$

Schritt 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit (b)

$P_T(J) = \frac{P(J \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}45}{0{,}70} = \frac{9}{14}$

$\boxed{P_T(J) = \frac{9}{14} \approx 0{,}643 \approx 64{,}3\,\%}$

Das heißt: Etwa $64{,}3\,\%$ der täglichen Nutzer sind unter $30$.

Schritt 3: Prüfung auf Unabhängigkeit (c)

Zwei Ereignisse $J$ und $T$ sind stochastisch unabhängig, wenn $P(J \cap T) = P(J) \cdot P(T)$ gilt.

$P(J) \cdot P(T) = 0{,}65 \cdot 0{,}70 = 0{,}455$

$P(J \cap T) = 0{,}45$

Da $0{,}45 \neq 0{,}455$, sind $J$ und $T$ nicht stochastisch unabhängig.

Schritt 4: Interpretation

$\boxed{\text{Die Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig.}}$

Allerdings ist die Abweichung gering ($0{,}45$ statt $0{,}455$). Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_T(J) \approx 64{,}3\,\%$ liegt nahe an $P(J) = 65\,\%$, was eine nur schwache Abhängigkeit zeigt. Das Alter hat also nur einen geringen Einfluss auf die tägliche Nutzung.

Ergebnis

Frage	Antwort
$P(J \cap T)$	$0{,}45$
$P_T(J)$	$\frac{9}{14} \approx 64{,}3\,\%$
Unabhängigkeit	Nein ($0{,}45 \neq 0{,}455$), aber schwache Abhängigkeit