Vektoren: Betrag, Skalarprodukt und Orthogonalität

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ t \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$.

• (a) Bestimmen Sie den Wert von $t$ so, dass $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal zueinander sind.
• (b) Berechnen Sie für diesen Wert von $t$ den Betrag von $\vec{a}$ und den Winkel zwischen $\vec{a}$ und dem Vektor $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Lösungsweg

Schritt 1: Orthogonalitätsbedingung (a)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + t \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = 0$

$6 - t + 4 = 0$

$10 - t = 0$

$\boxed{t = 10}$

Schritt 2: Betrag von $\vec{a}$ (b)

Mit $t = 10$: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix}$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 10^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 100 + 1} = \sqrt{110}$

$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{110} \approx 10{,}49}$

Schritt 3: Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{c}$ (b)

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{c}|} = \frac{3 \cdot 1 + 10 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{\sqrt{110} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{110}}$

$\alpha = \arccos\!\left(\frac{3}{\sqrt{110}}\right) \approx \arccos(0{,}2862)$

$\boxed{\alpha \approx 73{,}4°}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Parameter $t$	$t = 10$
Betrag $\|\vec{a}\|$	$\sqrt{110} \approx 10{,}49$
Winkel $\alpha$	$\approx 73{,}4°$