Vektorausdrücke: Skalar, Vektor oder undefiniert

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c} \in \mathbb{R}^3$.

• (a) Entscheiden Sie für jeden der folgenden Ausdrücke, ob das Ergebnis ein Skalar, ein Vektor oder nicht definiert ist:

  (i) $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$

  (ii) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

  (iii) $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \times \vec{c}$

  (iv) $|\vec{a} \times \vec{b}|$

• (b) Bestimmen Sie alle Werte von $r$, für die der Winkel zwischen $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ r \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ r \end{pmatrix}$ mindestens $90°$ beträgt.

Lösungsweg

Schritt 1: Typen bestimmen (a)

(i) $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$: $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ist ein Skalar $s$. Dann ist $s \cdot \vec{c}$ ein Vektor.

$\boxed{\text{(i) Vektor}}$

(ii) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$: $\vec{a} \times \vec{b}$ ist ein Vektor. Skalarprodukt mit $\vec{c}$ ergibt einen Skalar (Spatprodukt).

$\boxed{\text{(ii) Skalar}}$

(iii) $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \times \vec{c}$: $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ist ein Skalar. Das Kreuzprodukt eines Skalars mit einem Vektor ist nicht definiert.

$\boxed{\text{(iii) Nicht definiert}}$

(iv) $|\vec{a} \times \vec{b}|$: $\vec{a} \times \vec{b}$ ist ein Vektor. Der Betrag eines Vektors ist ein Skalar.

$\boxed{\text{(iv) Skalar}}$

Schritt 2: Winkel mindestens 90° (b)

Der Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ beträgt mindestens $90°$, wenn $\cos(\alpha) \leq 0$, also wenn $\vec{u} \cdot \vec{v} \leq 0$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + r \cdot (-2) + 1 \cdot r = 2 - 2r + r = 2 - r$

$2 - r \leq 0 \quad \Rightarrow \quad r \geq 2$

$\boxed{r \geq 2}$

Für $r = 2$ stehen die Vektoren senkrecht aufeinander ($\alpha = 90°$). Für $r > 2$ ist der Winkel stumpf.

Ergebnis

Ausdruck	Typ
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$	Vektor
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$	Skalar
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \times \vec{c}$	Nicht definiert
$\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	Skalar
Winkel $\geq 90°$	$r \geq 2$