Unabhängige Ereignisse: Parameter bestimmen

Aufgabenstellung

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Es gilt:

$P(B) = P(A) + 0{,}4 \quad \text{und} \quad P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}12$

Bestimmen Sie $P(A)$ und $P(B)$.

Lösungsweg

Schritt 1: Gleichung aufstellen

Aus der Unabhängigkeit folgt:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B))$

Mit $P(B) = P(A) + 0{,}4$ und $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}12$:

$(1 - P(A)) \cdot (1 - P(A) - 0{,}4) = 0{,}12$

Schritt 2: Quadratische Gleichung lösen

Substitution $p = P(A)$:

$(1 - p)(0{,}6 - p) = 0{,}12$

$0{,}6 - p - 0{,}6p + p^2 = 0{,}12$

$p^2 - 1{,}6p + 0{,}6 = 0{,}12$

$p^2 - 1{,}6p + 0{,}48 = 0$

Diskriminante: $D = 2{,}56 - 1{,}92 = 0{,}64$

$p = \frac{1{,}6 \pm \sqrt{0{,}64}}{2} = \frac{1{,}6 \pm 0{,}8}{2}$

$p_1 = \frac{2{,}4}{2} = 1{,}2 \quad \text{oder} \quad p_2 = \frac{0{,}8}{2} = 0{,}4$

Schritt 3: Gültige Lösung auswählen

$p_1 = 1{,}2$ ist keine gültige Wahrscheinlichkeit (größer als $1$).

$p_2 = 0{,}4$: Dann $P(B) = 0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8$ ✓

Kontrolle: $P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12$ ✓

$\boxed{P(A) = 0{,}4 = 40\,\%, \quad P(B) = 0{,}8 = 80\,\%}$

Ergebnis

Frage	Antwort
$P(A)$	$0{,}4$ ($40\,\%$)
$P(B)$	$0{,}8$ ($80\,\%$)