Trigonometrische Funktion: Integral und Parameter

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 4 \cdot \cos(x)$, $x \in \mathbb{R}$.

• (a) Zeigen Sie, dass $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x) \, dx = 0$ gilt, und erläutern Sie dieses Ergebnis geometrisch.
• (b) Für die Funktion $g$ gilt $g(x) = a \cdot f(x) + b \cdot x$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Bestimmen Sie $a$ und $b$ so, dass $g(0) = -4$ und $g(\pi) = 3\pi$ gilt.

Lösungsweg

Schritt 1: Integral berechnen (a)

$\int_0^{\pi} 4\cos(x) \, dx = \bigl[4\sin(x)\bigr]_0^{\pi} = 4\sin(\pi) - 4\sin(0) = 0 - 0 = 0 \quad \square$

Geometrische Erläuterung: Im Intervall $[0; \frac{\pi}{2}]$ liegt der Graph oberhalb der $x$-Achse, im Intervall $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ darunter. Da $\cos(x)$ symmetrisch zu $x = \frac{\pi}{2}$ ist (d.h. $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t) = \cos(\frac{\pi}{2} + t)$ gilt nicht, aber $|\cos(\frac{\pi}{2} - t)| = |\cos(\frac{\pi}{2} + t)|$), sind die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der $x$-Achse betragsmäßig gleich. Daher heben sie sich im orientierten Integral auf.

Schritt 2: Gleichungssystem aufstellen (b)

$g(x) = a \cdot 4\cos(x) + bx = 4a\cos(x) + bx$

Bedingung 1: $g(0) = -4$

$4a \cdot \cos(0) + b \cdot 0 = -4 \quad \Rightarrow \quad 4a = -4 \quad \Rightarrow \quad a = -1$

Bedingung 2: $g(\pi) = 3\pi$

$4(-1) \cdot \cos(\pi) + b \cdot \pi = 3\pi$

$4 \cdot (-1) \cdot (-1) + b\pi = 3\pi$

$4 + b\pi = 3\pi$

$b = \frac{3\pi - 4}{\pi} = 3 - \frac{4}{\pi}$

Schritt 3: Ergebnis

$\boxed{a = -1, \quad b = 3 - \frac{4}{\pi} \approx 1{,}727}$

Also ist $g(x) = -4\cos(x) + \left(3 - \frac{4}{\pi}\right) \cdot x$.

Ergebnis

Frage	Antwort
Integral	$\int_0^{\pi} f(x)\,dx = 0$ (Flächen heben sich auf)
Parameter $a$	$a = -1$
Parameter $b$	$b = 3 - \frac{4}{\pi} \approx 1{,}73$