Mittelstufe Mathematik & Logik 10 Punkte · ~20 Min.

Winkel im Dreieck mit dem Skalarprodukt berechnen

Aufgabenstellung

Gegeben ist das Dreieck ABCABC mit A(1∣0∣2)A(1 \mid 0 \mid 2), B(3∣1∣0)B(3 \mid 1 \mid 0) und C(0∣4∣1)C(0 \mid 4 \mid 1).

  • (a) Berechnen Sie die Innenwinkel α\alpha, β\beta und γ\gamma des Dreiecks. (6 BE)
  • (b) Prüfen Sie die Winkelsumme. (1 BE)
  • (c) Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe des Kreuzprodukts. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Seitenvektoren aufstellen

AB→=(21−2),AC→=(−14−1)\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}

BA→=(−2−12),BC→=(−331)\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}

CA→=(1−41),CB→=(3−3−1)\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}

Schritt 2: Winkel α\alpha bei AA (a)

cos⁡(α)=AB→⋅AC→∣AB→∣⋅∣AC→∣\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}

AB→⋅AC→=−2+4+2=4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2 + 4 + 2 = 4

∣AB→∣=4+1+4=3,∣AC→∣=1+16+1=18=32|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4+1+4} = 3, \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1+16+1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

cos⁡(α)=43⋅32=492=4218=229\cos(\alpha) = \frac{4}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{4}{9\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{18} = \frac{2\sqrt{2}}{9}

α=arccos⁡ ⁣(229)≈71,7°\boxed{\alpha = \arccos\!\left(\frac{2\sqrt{2}}{9}\right) \approx 71{,}7°}

Schritt 3: Winkel β\beta bei BB und γ\gamma bei CC (a)

Winkel β\beta:

BA→⋅BC→=6−3+2=5\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 6 - 3 + 2 = 5

∣BA→∣=3,∣BC→∣=9+9+1=19|\overrightarrow{BA}| = 3, \quad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{9+9+1} = \sqrt{19}

cos⁡(β)=5319\cos(\beta) = \frac{5}{3\sqrt{19}}

β=arccos⁡ ⁣(5319)≈67,6°\boxed{\beta = \arccos\!\left(\frac{5}{3\sqrt{19}}\right) \approx 67{,}6°}

Winkel γ\gamma:

CA→⋅CB→=3+12−1=14\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 3 + 12 - 1 = 14

∣CA→∣=32,∣CB→∣=19|\overrightarrow{CA}| = 3\sqrt{2}, \quad |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{19}

cos⁡(γ)=1432⋅19=14338\cos(\gamma) = \frac{14}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{19}} = \frac{14}{3\sqrt{38}}

γ=arccos⁡ ⁣(14338)≈40,7°\boxed{\gamma = \arccos\!\left(\frac{14}{3\sqrt{38}}\right) \approx 40{,}7°}

Schritt 4: Winkelsumme und Fläche (b, c)

Winkelsumme: 71,7°+67,6°+40,7°=180,0°71{,}7° + 67{,}6° + 40{,}7° = 180{,}0° ✓

Fläche mit Kreuzprodukt:

AB→×AC→=(1⋅(−1)−(−2)⋅4(−2)(−1)−2⋅(−1)2⋅4−1⋅(−1))=(−1+82+28+1)=(749)\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 4 \\ (-2)(-1) - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+8 \\ 2+2 \\ 8+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}

∣AB→×AC→∣=49+16+81=146|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{49+16+81} = \sqrt{146}

A△=12∣AB→×AC→∣=1462≈6,04 FEA_{\triangle} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{\sqrt{146}}{2} \approx 6{,}04\,\text{FE}

A△=1462≈6,04 FE\boxed{A_{\triangle} = \frac{\sqrt{146}}{2} \approx 6{,}04\,\text{FE}}

Ergebnis

WinkelWert
α\alpha (bei AA)≈71,7°\approx 71{,}7°
β\beta (bei BB)≈67,6°\approx 67{,}6°
γ\gamma (bei CC)≈40,7°\approx 40{,}7°
Winkelsumme180°180° ✓
Dreiecksfläche1462≈6,04 FE\frac{\sqrt{146}}{2} \approx 6{,}04\,\text{FE}