Pyramide: Symmetrieebene und Winkelberechnung

Aufgabenstellung

Eine Pyramide $ABCS$ hat die Grundfläche $ABC$ mit $A(0|0|0)$, $B(8|0|0)$, $C(4|6|0)$ und die Spitze $S(4|2|7)$.

• (a) Zeigen Sie, dass die Grundfläche $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck mit $|AB| = |AC|$ ist. (3 BE)
• (b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $E$, in der die Grundfläche liegt, und berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$. (4 BE)
• (c) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide. (3 BE)
• (d) Die Ebene $\sigma$ durch die Punkte $A$, $M_{BC}$ (Mittelpunkt von $\overline{BC}$) und $S$ ist eine Symmetrieebene der Pyramide. Bestimmen Sie eine Gleichung von $\sigma$ und zeigen Sie, dass $\sigma$ senkrecht auf der Grundfläche steht. (6 BE)
• (e) Berechnen Sie den Winkel, den die Seitenfläche $ABS$ mit der Grundfläche einschließt. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Gleichschenkligkeit (a)

$|AB| = \sqrt{8^2 + 0 + 0} = 8$

$|AC| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 0} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

$|BC| = \sqrt{(4-8)^2 + 6^2 + 0} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

Da $|AC| = |BC| = 2\sqrt{13}$, ist das Dreieck gleichschenklig mit $|AC| = |BC|$. $\square$

Hinweis: Das Dreieck ist gleichschenklig, aber mit $|AC| = |BC|$ (nicht $|AB| = |AC|$). Die Symmetrieachse geht durch $C$ und den Mittelpunkt von $\overline{AB}$.

Schritt 2: Ebene und Flächeninhalt (b)

Da alle drei Punkte $z = 0$ haben, liegt die Grundfläche in der $x_1$-$x_2$-Ebene:

$\boxed{E\colon x_3 = 0}$

Flächeninhalt:

$A_{\triangle} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 48 \end{pmatrix}$

$\boxed{A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \; \text{FE}}$

Schritt 3: Volumen der Pyramide (c)

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{\triangle} \cdot h$

Die Höhe $h$ ist der Abstand von $S(4|2|7)$ zur Grundebene $x_3 = 0$:

$h = 7$

$\boxed{V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 7 = 56 \; \text{VE}}$

Schritt 4: Symmetrieebene $\sigma$ (d)

$M_{BC} = \frac{1}{2}(B + C) = \frac{1}{2}(8+4 \mid 0+6 \mid 0) = (6 \mid 3 \mid 0)$

Punkte in $\sigma$: $A(0|0|0)$, $M_{BC}(6|3|0)$, $S(4|2|7)$

Richtungsvektoren:

$\vec{AM} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{AS} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AS} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 7 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 4 - 6 \cdot 7 \\ 6 \cdot 2 - 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ -42 \\ 0 \end{pmatrix} = 21\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\boxed{\sigma\colon x_1 - 2x_2 = 0}$

Kontrolle: $A$: $0 - 0 = 0$ ✓, $M_{BC}$: $6 - 6 = 0$ ✓, $S$: $4 - 4 = 0$ ✓

Senkrecht auf Grundfläche: $\vec{n}_\sigma = (1, -2, 0)$ und $\vec{n}_E = (0, 0, 1)$.

$\vec{n}_\sigma \cdot \vec{n}_E = 0 + 0 + 0 = 0$

Die Normalenvektoren stehen senkrecht aufeinander, also steht $\sigma$ senkrecht auf $E$. $\square$

Schritt 5: Winkel der Seitenfläche $ABS$ (e)

Normalenvektor der Seitenfläche $ABS$:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{AS} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\vec{n}_{ABS} = \vec{AB} \times \vec{AS} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 7 - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 4 - 8 \cdot 7 \\ 8 \cdot 2 - 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -56 \\ 16 \end{pmatrix} = 8\begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}$

Der Winkel zwischen zwei Ebenen berechnet sich über den Winkel ihrer Normalenvektoren. Mit $\vec{n}_E = (0, 0, 1)$:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_{ABS} \cdot \vec{n}_E|}{|\vec{n}_{ABS}| \cdot |\vec{n}_E|} = \frac{|0 \cdot 0 + (-7) \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{0 + 49 + 4} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{53}}$

$\boxed{\alpha = \arccos\!\left(\frac{2}{\sqrt{53}}\right) \approx 74{,}1°}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Gleichschenklig	$\|AC\| = \|BC\| = 2\sqrt{13}$
Grundfläche	$24$ FE
Volumen	$56$ VE
Symmetrieebene	$\sigma\colon x_1 - 2x_2 = 0$
Neigungswinkel	$\approx 74{,}1°$