Lineares Gleichungssystem mit Parameter

Aufgabenstellung

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter $a \in \mathbb{R}$ :

\begin{aligned} x + 2y - z &= 3 \\ 2x + y + z &= 6 \\ 3x + 3y + (a-1)z &= a + 8 \end{aligned}

(a) Lösen Sie das Gleichungssystem für $a = 1$ .
(b) Bestimmen Sie alle Werte von $a$ , für die das Gleichungssystem keine Lösung hat.

Für $a = 1$ :

\begin{aligned} x + 2y - z &= 3 \\ 2x + y + z &= 6 \\ 3x + 3y + 0 \cdot z &= 9 \end{aligned}

Gleichung III: $3x + 3y = 9 \Rightarrow x + y = 3 \Rightarrow x = 3 - y$

Gleichung I: $(3-y) + 2y - z = 3 \Rightarrow 3 + y - z = 3 \Rightarrow z = y$

Gleichung II (Kontrolle): $2(3-y) + y + y = 6 \Rightarrow 6 = 6$ ✓

$\boxed{\text{Für } a = 1\colon \; (x; y; z) = (3 - t;\; t;\; t), \quad t \in \mathbb{R}}$

Das System hat unendlich viele Lösungen (eine Schar).

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 6 \\ 3 & 3 & a-1 & a+8 \end{array}\right)$

$\text{II} - 2 \cdot \text{I}$ , $\text{III} - 3 \cdot \text{I}$ :

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & a+2 & a-1 \end{array}\right)$

$\text{III} - \text{II}$ :

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & a-1 \end{array}\right)$

Letzte Zeile: $(a - 1) \cdot z = a - 1$

Fall 1: $a \neq 1$ : Division durch $(a-1)$ liefert $z = 1$ . Eindeutige Lösung.

Fall 2: $a = 1$ : $0 \cdot z = 0$ – unendlich viele Lösungen (wie in (a) bestätigt).

In keinem Fall ergibt sich ein Widerspruch der Form $0 = c$ mit $c \neq 0$ .

$\boxed{\text{Das LGS hat für kein } a \in \mathbb{R} \text{ keine Lösung.}}$

Für $a \neq 1$ gibt es genau eine Lösung: $(x; y; z) = (2; 1; 1)$ . Für $a = 1$ gibt es unendlich viele.