Urnenziehung – Laplace-Wahrscheinlichkeit

Aufgabenstellung

Eine Urne enthält 5 rote, 3 blaue und 2 grüne Kugeln. Alle Kugeln sind gleich groß und gut durchmischt.

• (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen.
• (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, keine grüne Kugel zu ziehen.
• (c) Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.
• (d) Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.

Lösungsweg

Schritt 1: Grundgesamtheit bestimmen und $P(\text{rot})$ berechnen (a)

Die Gesamtzahl der Kugeln beträgt:

$n = 5 + 3 + 2 = 10$

Da alle Kugeln gleich wahrscheinlich gezogen werden, liegt ein Laplace-Experiment vor. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich als:

$P(\text{rot}) = \frac{\text{Anzahl roter Kugeln}}{\text{Gesamtzahl}} = \frac{5}{10}$

$\boxed{P(\text{rot}) = 0{,}5 = 50\,\%}$

Schritt 2: $P(\text{nicht grün})$ berechnen (b)

Über das Gegenereignis:

$P(\text{nicht grün}) = 1 - P(\text{grün}) = 1 - \frac{2}{10} = \frac{8}{10}$

$\boxed{P(\text{nicht grün}) = 0{,}8 = 80\,\%}$

Schritt 3: Zwei Kugeln mit Zurücklegen – $P(\text{beide rot})$ (c)

Beim Ziehen mit Zurücklegen sind die beiden Züge unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit bleibt bei jedem Zug gleich:

$P(\text{beide rot}) = P(\text{rot}_1) \cdot P(\text{rot}_2) = \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{25}{100}$

$\boxed{P(\text{beide rot, mit Zurücklegen}) = 0{,}25 = 25\,\%}$

Schritt 4: Zwei Kugeln ohne Zurücklegen – $P(\text{beide rot})$ (d)

Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert sich die Zusammensetzung nach dem ersten Zug. Die beiden Züge sind abhängig:

• Erster Zug: $P(\text{rot}_1) = \frac{5}{10}$
• Zweiter Zug (falls erste Kugel rot war): $P(\text{rot}_2 \mid \text{rot}_1) = \frac{4}{9}$

$P(\text{beide rot}) = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$

$\boxed{P(\text{beide rot, ohne Zurücklegen}) = \frac{2}{9} \approx 0{,}222 \approx 22{,}2\,\%}$

Ergebnis

Frage	Antwort
(a) $P(\text{rot})$	$\frac{5}{10} = 0{,}5$ ($50\,\%$)
(b) $P(\text{nicht grün})$	$\frac{8}{10} = 0{,}8$ ($80\,\%$)
(c) Beide rot, mit Zurücklegen	$\frac{25}{100} = 0{,}25$ ($25\,\%$)
(d) Beide rot, ohne Zurücklegen	$\frac{2}{9} \approx 0{,}222$ ($22{,}2\,\%$)