Kurvendiskussion: Medikamentenkonzentration

Aufgabenstellung

Teil 1: Funktionsuntersuchung

Für $k > 0$ ist die Funktionenschar $f_k$ definiert durch

$f_k(x) = k \cdot x^2 \cdot e^{-x}, \quad x \geq 0$

• (a) Zeigen Sie, dass $f_k$ genau eine Nullstelle bei $x = 0$ hat und bestimmen Sie $\lim_{x \to \infty} f_k(x)$. (3 BE)
• (b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Wendepunkts von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$. (6 BE)
• (c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_1$ im Intervall $[0; 4]$ mit der $x$-Achse einschließt. (4 BE)

Teil 2: Anwendung – Medikamentenkonzentration

Die Konzentration eines Medikaments im Blut (in $\text{mg/l}$) wird $t$ Stunden nach der Einnahme durch die Funktion

$c(t) = 3t^2 \cdot e^{-t}, \quad t \geq 0$

modelliert.

• (d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Konzentration und den zugehörigen Wert. (3 BE)
• (e) Das Medikament wirkt nur, wenn die Konzentration mindestens $0{,}8 \; \text{mg/l}$ beträgt. Ermitteln Sie das Zeitintervall, in dem das Medikament wirksam ist. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Nullstellen und Grenzwert (a)

Nullstellen: $f_k(x) = k \cdot x^2 \cdot e^{-x} = 0$

Da $k > 0$ und $e^{-x} > 0$ für alle $x$, muss $x^2 = 0$ gelten, also $x = 0$.

$\Rightarrow$ Die einzige Nullstelle ist $x = 0$ (doppelte Nullstelle). $\square$

Grenzwert: Für $x \to \infty$ wächst $x^2$ polynomiell, während $e^{-x}$ exponentiell fällt. Da exponentielles Fallen stärker als polynomielles Wachstum ist:

$\boxed{\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0}$

Schritt 2: Erste Ableitung (b)

Mit der Produktregel ($u = k \cdot x^2$, $v = e^{-x}$):

$f_k'(x) = 2kx \cdot e^{-x} + kx^2 \cdot (-e^{-x}) = kx \cdot e^{-x} \cdot (2 - x)$

$\boxed{f_k'(x) = kx(2 - x) \cdot e^{-x}}$

Schritt 3: Hochpunkt bestimmen (b)

$f_k'(x) = 0$ liefert (da $k > 0$, $e^{-x} > 0$):

$x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 2$

Bei $x = 0$: Doppelte Nullstelle von $f_k$, Minimum (Tiefpunkt).

Bei $x = 2$: Vorzeichenwechsel von $f_k'$ von $+$ nach $-$ $\Rightarrow$ Hochpunkt.

$f_k(2) = k \cdot 4 \cdot e^{-2} = 4k \cdot e^{-2}$

$\boxed{H\!\left(2 \;\middle|\; 4ke^{-2}\right) \approx \left(2 \;\middle|\; 0{,}541k\right)}$

Schritt 4: Wendepunkt bestimmen (b)

Zweite Ableitung mit Produktregel auf $f_k'(x) = k(2x - x^2) \cdot e^{-x}$:

$f_k''(x) = k(2 - 2x) \cdot e^{-x} + k(2x - x^2) \cdot (-e^{-x})$

$f_k''(x) = k \cdot e^{-x} \cdot \bigl(2 - 2x - 2x + x^2\bigr) = k \cdot e^{-x} \cdot (x^2 - 4x + 2)$

$f_k''(x) = 0$:

$x^2 - 4x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \pm \sqrt{2}$

Da $x \geq 0$: beide Lösungen $x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}586$ und $x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}414$ sind gültig.

Wendepunkt mit größerem $y$-Wert (bei $x_2 = 2 + \sqrt{2}$):

$f_k(2 + \sqrt{2}) = k(2 + \sqrt{2})^2 \cdot e^{-(2+\sqrt{2})} = k(6 + 4\sqrt{2}) \cdot e^{-(2+\sqrt{2})}$

$\boxed{W_1\!\left(2 - \sqrt{2} \;\middle|\; k(6 - 4\sqrt{2})e^{-(2-\sqrt{2})}\right), \quad W_2\!\left(2 + \sqrt{2} \;\middle|\; k(6 + 4\sqrt{2})e^{-(2+\sqrt{2})}\right)}$

Schritt 5: Flächeninhalt für $k = 1$ (c)

$A = \int_0^4 x^2 \cdot e^{-x} \, dx$

Zweimalige partielle Integration:

$\int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x} \, dx$

$= -x^2 e^{-x} + 2\left(-x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx\right) = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x}$

$= -(x^2 + 2x + 2) \cdot e^{-x}$

Einsetzen der Grenzen:

$A = \left[-(x^2 + 2x + 2) \cdot e^{-x}\right]_0^4$

$= -(16 + 8 + 2) \cdot e^{-4} - \left(-(0 + 0 + 2) \cdot e^{0}\right) = -26 \cdot e^{-4} + 2$

$\boxed{A = 2 - 26e^{-4} \approx 2 - 0{,}476 = 1{,}524 \; \text{FE}}$

Schritt 6: Maximale Konzentration (d)

Es gilt $c(t) = 3t^2 \cdot e^{-t} = f_3(t)$, also $k = 3$.

Aus Schritt 3 wissen wir: Hochpunkt bei $t = 2$.

$c(2) = 3 \cdot 4 \cdot e^{-2} = 12e^{-2} \approx 1{,}624$

$\boxed{\text{Maximale Konzentration: } c(2) \approx 1{,}62 \; \text{mg/l nach } 2 \text{ Stunden}}$

Schritt 7: Wirksamkeitsintervall (e)

Gesucht: $c(t) \geq 0{,}8$, also $3t^2 \cdot e^{-t} \geq 0{,}8$.

Dies ist analytisch nicht exakt lösbar. Numerisch (WTR):

$3t^2 \cdot e^{-t} = 0{,}8$

Lösung 1: $t_1 \approx 0{,}75$ Stunden $\approx 45$ Minuten

Lösung 2: $t_2 \approx 4{,}18$ Stunden $\approx 4$ Stunden $11$ Minuten

$\boxed{\text{Das Medikament wirkt im Intervall } [0{,}75; \; 4{,}18], \text{ also ca. } 3{,}4 \text{ Stunden.}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Nullstelle	$x = 0$ (doppelt)
Grenzwert	$\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0$
Hochpunkt	$H(2 \mid 4ke^{-2})$
Wendepunkte	$x = 2 \pm \sqrt{2}$
Fläche ($k = 1$, $[0;4]$)	$A = 2 - 26e^{-4} \approx 1{,}52$ FE
Max. Konzentration	$\approx 1{,}62$ mg/l nach $2$ h
Wirksamkeitsintervall	$[0{,}75; \; 4{,}18]$ h $\approx 3{,}4$ h