Lotto 6 aus 49 – Kombinationen

Aufgabenstellung

Beim deutschen Lotto werden 6 Kugeln aus 49 ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen.

• (a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen?
• (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle 6 Richtigen zu tippen?
• (c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, genau 3 Richtige zu haben.
• (d) Um welchen Faktor sind 3 Richtige wahrscheinlicher als 6 Richtige?

Lösungsweg

Schritt 1: Anzahl der Kombinationen (a)

Die Anzahl der Möglichkeiten, $k = 6$ Kugeln aus $n = 49$ ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge zu ziehen, ist der Binomialkoeffizient:

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Zähler:

$49 \cdot 48 = 2\,352$

$2\,352 \cdot 47 = 110\,544$

$110\,544 \cdot 46 = 5\,085\,024$

$5\,085\,024 \cdot 45 = 228\,826\,080$

$228\,826\,080 \cdot 44 = 10\,068\,347\,520$

Nenner:

$6! = 720$

$\binom{49}{6} = \frac{10\,068\,347\,520}{720} = 13\,983\,816$

$\boxed{\binom{49}{6} = 13\,983\,816}$

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige (b)

Es gibt genau eine günstige Kombination (die 6 gezogenen Zahlen). Damit:

$P(6 \text{ Richtige}) = \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13\,983\,816}$

$\boxed{P(6 \text{ Richtige}) \approx 0{,}0000000715 \approx 7{,}15 \cdot 10^{-8}}$

Das entspricht einer Chance von etwa $1 : 14$ Millionen.

Schritt 3: Wahrscheinlichkeit für genau 3 Richtige (c)

Wir verwenden die hypergeometrische Verteilung. Von den 49 Kugeln sind 6 „Treffer” und 43 „Nieten”. Wir ziehen 6 und wollen genau 3 Treffer:

$P(3 \text{ Richtige}) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3}}{\binom{49}{6}}$

Berechnung der einzelnen Binomialkoeffizienten:

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$\binom{43}{3} = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{74\,046}{6} = 12\,341$

Einsetzen:

$P(3 \text{ Richtige}) = \frac{20 \cdot 12\,341}{13\,983\,816} = \frac{246\,820}{13\,983\,816}$

$\boxed{P(3 \text{ Richtige}) \approx 0{,}01765 \approx 1{,}77\,\%}$

Das entspricht einer Chance von etwa $1 : 57$.

Schritt 4: Vergleich der Wahrscheinlichkeiten (d)

$\frac{P(3 \text{ Richtige})}{P(6 \text{ Richtige})} = \frac{\frac{246\,820}{13\,983\,816}}{\frac{1}{13\,983\,816}} = 246\,820$

$\boxed{\text{3 Richtige sind rund } 246\,820 \text{-mal wahrscheinlicher als 6 Richtige.}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Anzahl Kombinationen $\binom{49}{6}$	$13\,983\,816$
$P(6 \text{ Richtige})$	$\frac{1}{13\,983\,816} \approx 7{,}15 \cdot 10^{-8}$
$P(3 \text{ Richtige})$	$\frac{246\,820}{13\,983\,816} \approx 1{,}77\,\%$
Faktor 3 vs. 6 Richtige	$\approx 246\,820$