Stammfunktionen bestimmen und bestimmte Integrale berechnen

Aufgabenstellung

• (a) Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion $F(x)$: (4 BE)

  • (i) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$
  • (ii) $f(x) = \frac{1}{x^2} + \sqrt{x}$
  • (iii) $f(x) = e^{2x}$
  • (iv) $f(x) = \sin(3x)$

• (b) Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: (6 BE)

  • (i) $\displaystyle\int_0^2 (x^3 - 2x)\,dx$
  • (ii) $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
  • (iii) $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx$

Lösungsweg

Schritt 1: Stammfunktionen (a)

(i) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$:

$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C$

$\boxed{F(x) = x^3 - 2x^2 + x}$

(ii) $f(x) = x^{-2} + x^{1/2}$:

$F(x) = -x^{-1} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}$

$\boxed{F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}}$

(iii) $f(x) = e^{2x}$: innere Ableitung $= 2$, also Division:

$\boxed{F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}}$

(iv) $f(x) = \sin(3x)$: innere Ableitung $= 3$:

$\boxed{F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x)}$

Schritt 2: Bestimmtes Integral (b)(i)

$\int_0^2 (x^3 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^2\right]_0^2$

$= \left(\frac{16}{4} - 4\right) - (0 - 0) = 4 - 4 = 0$

$\boxed{\int_0^2 (x^3 - 2x)\,dx = 0}$

Schritt 3: Bestimmtes Integral (b)(ii)

$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \big[\ln|x|\big]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$

$\boxed{\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1}$

Schritt 4: Bestimmtes Integral (b)(iii)

$\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = \big[-\cos(x)\big]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2$

$\boxed{\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = 2}$

Ergebnis

Aufgabe	Ergebnis
$F(x)$ für $3x^2 - 4x + 1$	$x^3 - 2x^2 + x$
$F(x)$ für $\frac{1}{x^2} + \sqrt{x}$	$-\frac{1}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}$
$F(x)$ für $e^{2x}$	$\frac{1}{2}e^{2x}$
$F(x)$ für $\sin(3x)$	$-\frac{1}{3}\cos(3x)$
$\int_0^2 (x^3-2x)\,dx$	$0$
$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$	$1$
$\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx$	$2$