Integralrechnung und Flächeninhalt

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , $x \in \mathbb{R}$ .

(a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$ und skizzieren Sie den Verlauf des Graphen im Intervall $[0; 4]$ .
(b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt.

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Mit der $p$ - $q$ -Formel ( $p = -4$ , $q = 3$ ):

$x_{1/2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1$

$\boxed{x_1 = 1, \quad x_2 = 3}$

Alternativ durch Faktorisierung: $f(x) = (x - 1)(x - 3)$ .

Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel bei $S(2 \mid -1)$ , die die $x$ -Achse bei $x = 1$ und $x = 3$ schneidet.

$F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x$

Kontrolle: $F'(x) = x^2 - 4x + 3 = f(x)$ ✓

Da $f(x) \leq 0$ im Intervall $[1; 3]$ (der Graph liegt unterhalb der $x$ -Achse), gilt:

$A = \left| \int_1^3 f(x) \, dx \right| = \left| F(3) - F(1) \right|$

$F(3) = \frac{27}{3} - 18 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$

$F(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$

$A = \left| 0 - \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}$

$\boxed{A = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \; \text{FE}}$