Mittelstufe Mathematik & Logik 10 Punkte · ~20 Min.

Schnittpunkt zweier Geraden im Raum

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Geraden:

g ⁣:x⃗=(102)+s⋅(21−1),h ⁣:x⃗=(53−1)+t⋅(−112)g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad h\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

  • (a) Untersuchen Sie, ob die Geraden gg und hh parallel sind. (2 BE)
  • (b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden. (5 BE)
  • (c) Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Geraden. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Parallelität prüfen (a)

Richtungsvektoren: u⃗=(21−1)\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v⃗=(−112)\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.

u⃗\vec{u} ist nicht ein Vielfaches von v⃗\vec{v} (aus 2=k⋅(−1)2 = k \cdot (-1) folgt k=−2k = -2, aber 1≠−2⋅11 \neq -2 \cdot 1).

Die Geraden sind nicht parallel.\boxed{\text{Die Geraden sind nicht parallel.}}

Schritt 2: Gleichungssystem aufstellen (b)

Gleichsetzen:

(1+2ss2−s)=(5−t3+t−1+2t)\begin{pmatrix} 1+2s \\ s \\ 2-s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-t \\ 3+t \\ -1+2t \end{pmatrix}

Drei Gleichungen:

  • (I): 1+2s=5−t⇒2s+t=41 + 2s = 5 - t \quad \Rightarrow \quad 2s + t = 4
  • (II): s=3+t⇒s−t=3s = 3 + t \quad \Rightarrow \quad s - t = 3
  • (III): 2−s=−1+2t⇒s+2t=32 - s = -1 + 2t \quad \Rightarrow \quad s + 2t = 3

Schritt 3: Gleichungssystem lösen (b)

Aus (I) und (II): 2s+t=42s + t = 4 und s−t=3s - t = 3.

Addition: 3s=7⇒s=733s = 7 \Rightarrow s = \frac{7}{3}, also t=s−3=73−3=−23t = s - 3 = \frac{7}{3} - 3 = -\frac{2}{3}.

Probe in (III): s+2t=73+2⋅(−23)=73−43=1≠3s + 2t = \frac{7}{3} + 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} = 1 \neq 3.

Die Probe schlägt fehl – das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Die Geraden sind windschief (kein Schnittpunkt).\boxed{\text{Die Geraden sind windschief (kein Schnittpunkt).}}

Korrektur der Aufgabe: Da die Geraden windschief sind, bestimmen wir stattdessen den Abstand.

Der Verbindungsvektor ist w⃗=(5−13−0−1−2)=(43−3)\vec{w} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 3-0 \\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}.

Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

u⃗×v⃗=(1⋅2−(−1)⋅1(−1)(−1)−2⋅22⋅1−1⋅(−1))=(3−33)\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 \\ (-1)(-1) - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}

∣u⃗×v⃗∣=9+9+9=33|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{9+9+9} = 3\sqrt{3}

d=∣w⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∣u⃗×v⃗∣=∣12−9−9∣33=633=23=233d = \frac{|\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{|12 - 9 - 9|}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

d=233≈1,155\boxed{d = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155}

Schritt 4: Schnittwinkel (c)

Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:

cos⁡(α)=∣u⃗⋅v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

u⃗⋅v⃗=2⋅(−1)+1⋅1+(−1)⋅2=−2+1−2=−3\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = -2 + 1 - 2 = -3

∣u⃗∣=4+1+1=6,∣v⃗∣=1+1+4=6|\vec{u}| = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}

cos⁡(α)=∣−3∣6=12\cos(\alpha) = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}

α=60°\boxed{\alpha = 60°}

Ergebnis

FrageAntwort
ParallelitätNein
LagebeziehungWindschief
Abstand233≈1,155\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155
Winkel der Richtungsvektoren60°60°