Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Gerade $g$ und die Ebene $E$:

$g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad E\colon 2x_1 + x_2 - x_3 = 7$

• (a) Zeigen Sie, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet (nicht parallel). (2 BE)
• (b) Berechnen Sie den Durchstoßpunkt $D$ der Geraden $g$ durch die Ebene $E$. (4 BE)
• (c) Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen $g$ und $E$. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Schnittprüfung (a)

Der Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$, der Richtungsvektor der Geraden ist $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$.

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 4 - 1 - 3 = 0$

Da das Skalarprodukt $0$ ist, steht $\vec{u}$ senkrecht auf $\vec{n}$, die Gerade verläuft also parallel zur Ebene.

Prüfung, ob $g$ in $E$ liegt: Einsetzen des Stützvektors $(1 \mid 2 \mid -1)$:

$2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - (-1) = 2 + 2 + 1 = 5 \neq 7$

$\boxed{\text{Die Gerade } g \text{ ist echt parallel zu } E \text{ (kein Schnittpunkt).}}$

Angepasste Aufgabe: Wir betrachten stattdessen die Ebene $E'\colon x_1 + 2x_2 - x_3 = 4$.

$\vec{n}' = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{n}' \cdot \vec{u} = 2 - 2 - 3 = -3 \neq 0$

$\boxed{\vec{n}' \cdot \vec{u} = -3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad g \text{ schneidet } E'.}$

Schritt 2: Durchstoßpunkt berechnen (b)

Geradengleichung in $E'$ einsetzen:

$(1+2t) + 2(2-t) - (-1+3t) = 4$

$1 + 2t + 4 - 2t + 1 - 3t = 4$

$6 - 3t = 4 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{2}{3}$

Punkt einsetzen:

$D = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{2}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \frac{4}{3} \\ 2 - \frac{2}{3} \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{3} \\ \frac{4}{3} \\ 1 \end{pmatrix}$

$\boxed{D\!\left(\tfrac{7}{3} \;\middle|\; \tfrac{4}{3} \;\middle|\; 1\right)}$

Schritt 3: Probe (b)

$\frac{7}{3} + 2 \cdot \frac{4}{3} - 1 = \frac{7}{3} + \frac{8}{3} - \frac{3}{3} = \frac{12}{3} = 4 \; \checkmark$

Schritt 4: Schnittwinkel (c)

Der Schnittwinkel $\varphi$ zwischen Gerade und Ebene ergibt sich aus:

$\sin(\varphi) = \frac{|\vec{n}' \cdot \vec{u}|}{|\vec{n}'| \cdot |\vec{u}|}$

$|\vec{n}'| = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}, \quad |\vec{u}| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$

$\sin(\varphi) = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}}$

$\varphi = \arcsin\!\left(\frac{3}{2\sqrt{21}}\right) \approx \arcsin(0{,}327) \approx 19{,}1°$

$\boxed{\varphi \approx 19{,}1°}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Lagebeziehung $g$ und $E'$	Schnitt ($\vec{n}' \cdot \vec{u} \neq 0$)
Parameter $t$	$\frac{2}{3}$
Durchstoßpunkt $D$	$\left(\frac{7}{3} \mid \frac{4}{3} \mid 1\right)$
Schnittwinkel	$\approx 19{,}1°$