Exponentielles Wachstum modellieren

Aufgabenstellung

Teil A: Bakterienwachstum

Eine Bakterienkultur startet mit $N_0 = 500$ Bakterien. Die Population verdoppelt sich alle $3$ Stunden.

• (a) Stelle die Wachstumsfunktion $N(t)$ auf (mit $t$ in Stunden).
• (b) Berechne die Anzahl der Bakterien nach $12$ Stunden und nach $24$ Stunden.
• (c) Nach wie vielen Stunden wird die Marke von $1\,000\,000$ Bakterien erreicht?

Teil B: Radioaktiver Zerfall

Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von $5$ Jahren. Zu Beginn sind $m_0 = 200 \, \text{g}$ vorhanden.

• (d) Stelle die Zerfallsfunktion $m(t)$ auf (mit $t$ in Jahren).
• (e) Berechne die verbleibende Masse nach $15$ Jahren.

Lösungsweg

Schritt 1: Wachstumsfunktion aufstellen (Teil A)

Die allgemeine Form für exponentielles Wachstum mit Verdopplungszeit $T_2$ lautet:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{T_2}}$

Mit $N_0 = 500$ und $T_2 = 3 \, \text{h}$:

$\boxed{N(t) = 500 \cdot 2^{\frac{t}{3}}}$

Alternative Darstellung mit der Basis $e$:

$N(t) = 500 \cdot e^{k \cdot t} \quad \text{mit} \quad k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0{,}231 \, \text{h}^{-1}$

Schritt 2: Bakterienanzahl nach 12 h und 24 h

Nach $t = 12 \, \text{h}$:

$N(12) = 500 \cdot 2^{\frac{12}{3}} = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16$

$\boxed{N(12) = 8\,000 \text{ Bakterien}}$

Kontrollüberlegung: In $12$ Stunden finden $\frac{12}{3} = 4$ Verdopplungen statt: $500 \to 1\,000 \to 2\,000 \to 4\,000 \to 8\,000$ ✓

Nach $t = 24 \, \text{h}$:

$N(24) = 500 \cdot 2^{\frac{24}{3}} = 500 \cdot 2^8 = 500 \cdot 256$

$\boxed{N(24) = 128\,000 \text{ Bakterien}}$

Schritt 3: Zeitpunkt für 1 Million Bakterien

Wir setzen $N(t) = 1\,000\,000$ und lösen nach $t$ auf:

$1\,000\,000 = 500 \cdot 2^{\frac{t}{3}}$

Durch $500$ dividieren:

$2\,000 = 2^{\frac{t}{3}}$

Logarithmus zur Basis $2$ anwenden (alternativ: $\ln$ auf beiden Seiten):

$\log_2(2\,000) = \frac{t}{3}$

$\frac{t}{3} = \frac{\ln(2\,000)}{\ln(2)} = \frac{7{,}601}{0{,}693} \approx 10{,}97$

$t = 3 \cdot 10{,}97$

$\boxed{t \approx 32{,}9 \, \text{h} \approx 1 \text{ Tag und } 9 \text{ Stunden}}$

Wachstumstabelle:

Zeit $t$	Verdopplungen	Bakterienanzahl
$0 \, \text{h}$	$0$	$500$
$3 \, \text{h}$	$1$	$1\,000$
$6 \, \text{h}$	$2$	$2\,000$
$12 \, \text{h}$	$4$	$8\,000$
$24 \, \text{h}$	$8$	$128\,000$
$\approx 33 \, \text{h}$	$\approx 11$	$\approx 1\,000\,000$

Schritt 4: Zerfallsfunktion aufstellen (Teil B)

Beim radioaktiven Zerfall halbiert sich die Masse in jeder Halbwertszeit $T_{1/2}$:

$m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$

Mit $m_0 = 200 \, \text{g}$ und $T_{1/2} = 5 \, \text{Jahre}$:

$\boxed{m(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}}}$

Alternative Darstellung:

$m(t) = 200 \cdot e^{-\lambda t} \quad \text{mit} \quad \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0{,}1386 \, \text{a}^{-1}$

Schritt 5: Restmasse nach 15 Jahren

$m(15) = 200 \, \text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15}{5}} = 200 \, \text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

$m(15) = 200 \, \text{g} \cdot \frac{1}{8}$

$\boxed{m(15) = 25 \, \text{g}}$

Kontrollüberlegung: In $15$ Jahren finden $\frac{15}{5} = 3$ Halbierungen statt:

$200 \, \text{g} \xrightarrow{5\text{a}} 100 \, \text{g} \xrightarrow{5\text{a}} 50 \, \text{g} \xrightarrow{5\text{a}} 25 \, \text{g}$ ✓

Schritt 6: Vergleich – Wachstum vs. Zerfall

Eigenschaft	Exponentielles Wachstum	Exponentieller Zerfall
Basis $a$	$a > 1$ (hier: $2$)	$0 < a < 1$ (hier: $\frac{1}{2}$)
Exponent-Vorzeichen ($e$-Form)	$k > 0$	$k < 0$ ($-\lambda$)
Kennzahl	Verdopplungszeit $T_2$	Halbwertszeit $T_{1/2}$
Graphverlauf	Steigende Kurve	Fallende Kurve
Grenzwert für $t \to \infty$	$\to \infty$	$\to 0$ (nähert sich der $x$-Achse an)

Gemeinsame Eigenschaft: In gleichen Zeitabschnitten ändert sich der Bestand immer um den gleichen Faktor (nicht um den gleichen Betrag – das wäre lineares Wachstum).

Ergebnis

Frage	Antwort
Wachstumsfunktion	$N(t) = 500 \cdot 2^{t/3}$
Bakterien nach $12 \, \text{h}$	$8\,000$
Bakterien nach $24 \, \text{h}$	$128\,000$
Zeit bis $1\,000\,000$	$\approx 32{,}9 \, \text{h}$
Zerfallsfunktion	$m(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}$
Restmasse nach $15$ Jahren	$25 \, \text{g}$