Ebenenschar: Lagebeziehung und Parallelität

Aufgabenstellung

Für $k \in \mathbb{R}$ ist die Ebenenschar $E_k$ gegeben durch

$E_k\colon kx_1 + (3 - k)x_2 + 2x_3 = k$

• (a) Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene ist.
• (b) Untersuchen Sie, ob es zwei verschiedene Ebenen der Schar gibt, die parallel zueinander sind.

Lösungsweg

Schritt 1: Nicht parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene (a)

Der Normalenvektor von $E_k$ ist $\vec{n}_k = \begin{pmatrix} k \\ 3-k \\ 2 \end{pmatrix}$.

Die $x_1$-$x_2$-Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind, d.h. $\vec{n}_k = \lambda \vec{n}_0$ für ein $\lambda \neq 0$. Das würde erfordern: $k = 0$, $3 - k = 0$ und $2 = \lambda$. Aus der zweiten Bedingung folgt $k = 3$, was der ersten Bedingung $k = 0$ widerspricht.

Alternativ: Die $x_3$-Komponente von $\vec{n}_k$ ist stets $2 \neq 0$, aber die ersten beiden Komponenten $(k, 3-k)$ können nicht gleichzeitig null werden (denn $k = 0$ liefert $3 - k = 3 \neq 0$). Also ist $\vec{n}_k$ nie proportional zu $\vec{n}_0$.

$\boxed{\text{Da die } x_3\text{-Komponente von } \vec{n}_k \text{ stets } 2 \neq 0 \text{ ist und } (k, 3-k) \neq (0,0), \text{ steht } E_k \text{ nie parallel zur } x_1\text{-}x_2\text{-Ebene.}}$

Schritt 2: Parallelität untersuchen (b)

Zwei Ebenen $E_{k_1}$ und $E_{k_2}$ mit $k_1 \neq k_2$ sind parallel, wenn $\vec{n}_{k_1} \parallel \vec{n}_{k_2}$, also wenn ein $\lambda \neq 0$ existiert mit:

$\begin{pmatrix} k_1 \\ 3-k_1 \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} k_2 \\ 3-k_2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Aus der dritten Komponente: $2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 1$.

Erste Komponente: $k_1 = k_2$, zweite: $3 - k_1 = 3 - k_2$.

$\boxed{\text{Es gibt keine zwei verschiedenen parallelen Ebenen der Schar.}}$

Für $k_1 \neq k_2$ sind die Normalenvektoren nie proportional, also schneiden sich je zwei verschiedene Ebenen der Schar stets in einer Geraden.

Schritt 3: Zusammenfassung

Ergebnis

Frage	Antwort
Nicht parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene	$\vec{n}_k$ nie proportional zu $(0,0,1)$, da $(k, 3-k) \neq (0,0)$
Parallele Ebenen	Nein – je zwei verschiedene schneiden sich