Ebenen und Geraden: Lagebeziehungen

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Ebene $E\colon 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 7$ und die Gerade

$g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$

• (a) Untersuchen Sie, ob die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
• (b) Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen $g$ und $E$.

Lösungsweg

Schritt 1: Schnittpunkt bestimmen (a)

Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:

$2(1 + s) - (2 - s) + 3(1 + s) = 7$

$2 + 2s - 2 + s + 3 + 3s = 7$

$3 + 6s = 7$

$6s = 4 \quad \Rightarrow \quad s = \frac{2}{3}$

Da eine eindeutige Lösung existiert, schneiden sich $g$ und $E$.

Schnittpunkt: Einsetzen von $s = \frac{2}{3}$ in $g$:

$S = \begin{pmatrix} 1 + \frac{2}{3} \\ 2 - \frac{2}{3} \\ 1 + \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{4}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}$

$\boxed{S\!\left(\frac{5}{3} \;\middle|\; \frac{4}{3} \;\middle|\; \frac{5}{3}\right)}$

Kontrolle: $2 \cdot \frac{5}{3} - \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3} - \frac{4}{3} + \frac{15}{3} = \frac{21}{3} = 7$ ✓

Schritt 2: Schnittwinkel bestimmen (b)

Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen Gerade und Ebene berechnet sich über den Richtungsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und den Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$

Schritt 3: Berechnung

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 2 + 1 + 3 = 6$

$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}, \quad |\vec{n}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$\sin(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{42}} \approx 0{,}9258$

$\boxed{\alpha = \arcsin(0{,}9258) \approx 67{,}8°}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Lagebeziehung	Gerade schneidet Ebene
Schnittpunkt	$S\!\left(\frac{5}{3} \mid \frac{4}{3} \mid \frac{5}{3}\right)$
Schnittwinkel	$\alpha \approx 67{,}8°$