Dreisatz – Rezepte und Einkaufen

Aufgabenstellung

Der Dreisatz ist eines der wichtigsten Werkzeuge im Alltag – beim Kochen, Einkaufen und Planen. Löse die folgenden Aufgaben:

• (a) Ein Rezept für $4$ Personen braucht $300 \, \text{g}$ Mehl, $200 \, \text{g}$ Zucker und $4$ Eier. Rechne die Zutaten für $7$ Personen um.
• (b) $750 \, \text{g}$ Äpfel kosten $2{,}25$ €. Wie viel kosten $1{,}2 \, \text{kg}$?
• (c) Ein Auto verbraucht $6{,}8$ Liter Benzin auf $100 \, \text{km}$. Wie viel Benzin braucht es für $350 \, \text{km}$? Wie weit kommt man mit $40$ Litern?
• (d) $5$ Arbeiter brauchen $12$ Tage für einen Auftrag. Wie lange brauchen $8$ Arbeiter? (Achtung: antiproportional!)

Lösungsweg

Schritt 1: Rezept umrechnen – proportionaler Dreisatz (a)

Prinzip: Mehr Personen → mehr Zutaten (proportional).

Umrechnungsfaktor:

$\text{Faktor} = \frac{7}{4} = 1{,}75$

Mehl:

$300 \, \text{g} \cdot 1{,}75 = \boxed{525 \, \text{g}}$

Zucker:

$200 \, \text{g} \cdot 1{,}75 = \boxed{350 \, \text{g}}$

Eier:

$4 \cdot 1{,}75 = 7$

$\boxed{7 \text{ Eier}}$

Schritt 2: Kilopreis und Gesamtpreis – Äpfel (b)

Gegeben: $750 \, \text{g}$ kosten $2{,}25$ €. Gesucht: Preis für $1{,}2 \, \text{kg} = 1200 \, \text{g}$.

Auf $1 \, \text{g}$ runterrechnen:

$1 \, \text{g} \text{ kostet } \frac{2{,}25}{750} = 0{,}003 \text{ EUR}$

Auf $1200 \, \text{g}$ hochrechnen:

$1200 \cdot 0{,}003 = 3{,}60 \text{ EUR}$

$\boxed{1{,}2 \, \text{kg Äpfel kosten } 3{,}60 \text{ EUR}}$

Alternativ mit Faktor: $\frac{1200}{750} = 1{,}6$, also $2{,}25 \cdot 1{,}6 = 3{,}60$ €.

Schritt 3: Benzinverbrauch – proportionaler Dreisatz (c)

Teil 1: Verbrauch für $350 \, \text{km}$

$100 \, \text{km} \;\widehat{=}\; 6{,}8 \, \text{L}$

$1 \, \text{km} \;\widehat{=}\; \frac{6{,}8}{100} = 0{,}068 \, \text{L}$

$350 \, \text{km} \;\widehat{=}\; 350 \cdot 0{,}068 = 23{,}8 \, \text{L}$

$\boxed{23{,}8 \text{ Liter für } 350 \, \text{km}}$

Teil 2: Reichweite mit $40$ Litern

$6{,}8 \, \text{L} \;\widehat{=}\; 100 \, \text{km}$

$1 \, \text{L} \;\widehat{=}\; \frac{100}{6{,}8} \approx 14{,}71 \, \text{km}$

$40 \, \text{L} \;\widehat{=}\; 40 \cdot 14{,}71 \approx 588{,}24 \, \text{km}$

$\boxed{\text{ca. } 588 \, \text{km mit } 40 \text{ Litern}}$

Schritt 4: Antiproportionaler Dreisatz – Arbeiter (d)

Achtung: Mehr Arbeiter → weniger Tage. Das ist antiproportional!

Gegeben: $5$ Arbeiter brauchen $12$ Tage.

Gesamtaufwand (Personentage):

$5 \cdot 12 = 60 \text{ Personentage}$

Bei antiproportionalem Dreisatz bleibt das Produkt konstant:

$8 \cdot x = 60$

$x = \frac{60}{8} = 7{,}5$

$\boxed{8 \text{ Arbeiter brauchen } 7{,}5 \text{ Tage}}$

Merkregel: Beim antiproportionalen Dreisatz multipliziert man die bekannten Werte und teilt durch den neuen Wert – statt wie beim proportionalen Dreisatz über die Einheit zu gehen.

Ergebnis

Aufgabe	Antwort
(a) Rezept für $7$ Personen	$525 \, \text{g}$ Mehl, $350 \, \text{g}$ Zucker, $7$ Eier
(b) $1{,}2 \, \text{kg}$ Äpfel	$3{,}60$ €
(c) Verbrauch $350 \, \text{km}$	$23{,}8$ Liter
(c) Reichweite $40 \, \text{L}$	ca. $588 \, \text{km}$
(d) $8$ Arbeiter (antiproportional)	$7{,}5$ Tage