Tangente mit gegebener Steigung finden

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$ .

(a) Bestimmen Sie $f'(x)$ . (2 BE)
(b) An welchen Stellen hat der Graph von $f$ die Steigung $0$ ? Geben Sie die zugehörigen Tangentengleichungen an. (4 BE)
(c) Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Tangente an $f$ parallel zur Geraden $y = x - 5$ verläuft. Geben Sie die Tangentengleichung an. (4 BE)

$f'(x) = x^2 - 4x + 3$

$\boxed{f'(x) = x^2 - 4x + 3}$

$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x + 3 = 0$

Quadratische Formel oder Vieta ( $p = -4$ , $q = 3$ ):

$x_{1{,}2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = 1, \quad x_2 = 3$

Funktionswerte:

$f(1) = \tfrac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = \tfrac{7}{3} \approx 2{,}33$

$f(3) = 9 - 18 + 9 + 1 = 1$

Tangentengleichungen (waagerechte Tangenten):

$\boxed{t_1(x) = \tfrac{7}{3}, \quad t_2(x) = 1}$

Die Gerade $y = x - 5$ hat die Steigung $m = 1$ . Gesucht: $f'(x) = 1$ .

$x^2 - 4x + 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x + 2 = 0$

$x_{1{,}2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}586, \quad x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}414$

Funktionswerte mit $u = 2 - \sqrt{2}$ :

$u^2 = 6 - 4\sqrt{2}, \quad u^3 = 20 - 14\sqrt{2}$

$f(u) = \tfrac{20 - 14\sqrt{2}}{3} - 2(6 - 4\sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{2}) + 1 = \tfrac{5 + \sqrt{2}}{3}$

Analog für $v = 2 + \sqrt{2}$ :

$f(v) = \tfrac{5 - \sqrt{2}}{3}$

Tangentengleichung $t(x) = 1 \cdot (x - x_0) + f(x_0)$ :

$t_1(x) = x - (2-\sqrt{2}) + \tfrac{5+\sqrt{2}}{3} = x - \tfrac{1}{3} + \tfrac{4\sqrt{2}}{3}$

$t_2(x) = x - (2+\sqrt{2}) + \tfrac{5-\sqrt{2}}{3} = x - \tfrac{1}{3} - \tfrac{4\sqrt{2}}{3}$

$\boxed{t_1(x) = x + \tfrac{4\sqrt{2} - 1}{3}, \quad t_2(x) = x - \tfrac{4\sqrt{2} + 1}{3}}$