Ableitungen mit Produkt- und Kettenregel bestimmen

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.

(a) Potenz- und Summenregel:

$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$

$\boxed{f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5}$

(b) Umschreiben: $g(x) = x^{1/2} + 4x^{-2}$

$g'(x) = \tfrac{1}{2}\,x^{-1/2} - 8x^{-3} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{8}{x^3}$

$\boxed{g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{8}{x^3}}$

(c) $h(x) = \underbrace{(2x+1)}_{u} \cdot \underbrace{e^x}_{v}$ mit $u' = 2$ , $v' = e^x$ :

$h'(x) = 2 \cdot e^x + (2x+1) \cdot e^x = e^x(2x + 3)$

$\boxed{h'(x) = (2x + 3)\,e^x}$

(d) $k(x) = \underbrace{x^2}_{u} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{v}$ mit $u' = 2x$ , $v' = \cos(x)$ :

$k'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$

$\boxed{k'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)}$

(e) $m(x) = e^{-3x^2}$ : äußere Ableitung $\cdot$ innere Ableitung $(-6x)$ :

$m'(x) = e^{-3x^2} \cdot (-6x) = -6x\,e^{-3x^2}$

$\boxed{m'(x) = -6x\,e^{-3x^2}}$

(f) $n(x) = \sin(2x + \pi)$ : innere Ableitung $= 2$ :

$n'(x) = 2\cos(2x + \pi)$

$\boxed{n'(x) = 2\cos(2x + \pi)}$

(g) $p(x) = \ln(x^2 + 1)$ : innere Ableitung $= 2x$ :

$p'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$\boxed{p'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}}$

(h) $q(x) = \dfrac{x}{e^x}$ mit $u = x$ , $v = e^x$ , $u' = 1$ , $v' = e^x$ :

$q'(x) = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1 - x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

$\boxed{q'(x) = \frac{1-x}{e^x}}$