Mittelstufe Mathematik & Logik 10 Punkte · ~20 Min.

Tangente an eine Parabel aufstellen

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5.

  • (a) Bestimmen Sie f′(x)f'(x) mithilfe des Differentialquotienten (h-Methode). (3 BE)
  • (b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente tt an den Graphen von ff im Punkt P(1∣f(1))P(1 \mid f(1)). (3 BE)
  • (c) Bestimmen Sie die Stelle, an der die Tangente an ff die Steigung −2-2 hat, und geben Sie die zugehörige Tangentengleichung an. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Ableitung mit h-Methode (a)

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Zähler berechnen:

f(x0+h)=−(x0+h)2+6(x0+h)−5f(x_0 + h) = -(x_0 + h)^2 + 6(x_0 + h) - 5

=−x02−2x0h−h2+6x0+6h−5= -x_0^2 - 2x_0 h - h^2 + 6x_0 + 6h - 5

f(x0+h)−f(x0)=−2x0h−h2+6h=h(−2x0−h+6)f(x_0 + h) - f(x_0) = -2x_0 h - h^2 + 6h = h(-2x_0 - h + 6)

Differenzenquotient vereinfachen und Grenzwert bilden:

f′(x0)=lim⁡h→0h(−2x0−h+6)h=lim⁡h→0(−2x0−h+6)=−2x0+6f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{h(-2x_0 - h + 6)}{h} = \lim_{h \to 0} (-2x_0 - h + 6) = -2x_0 + 6

f′(x)=−2x+6\boxed{f'(x) = -2x + 6}

Schritt 2: Tangente im Punkt P(1∣f(1))P(1 \mid f(1)) (b)

Funktionswert und Ableitung:

f(1)=−1+6−5=0⇒P(1∣0)f(1) = -1 + 6 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad P(1 \mid 0)

f′(1)=−2+6=4f'(1) = -2 + 6 = 4

Tangentengleichung:

t(x)=f′(1)⋅(x−1)+f(1)=4(x−1)+0=4x−4t(x) = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) = 4(x - 1) + 0 = 4x - 4

t(x)=4x−4\boxed{t(x) = 4x - 4}

Schritt 3: Stelle mit Steigung −2-2 bestimmen (c)

f′(x0)=−2⇒−2x0+6=−2⇒x0=4f'(x_0) = -2 \quad \Rightarrow \quad -2x_0 + 6 = -2 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 4

x0=4\boxed{x_0 = 4}

Schritt 4: Zugehörige Tangentengleichung (c)

Funktionswert:

f(4)=−16+24−5=3⇒Q(4∣3)f(4) = -16 + 24 - 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad Q(4 \mid 3)

Tangentengleichung:

t(x)=−2(x−4)+3=−2x+8+3=−2x+11t(x) = -2(x - 4) + 3 = -2x + 8 + 3 = -2x + 11

t(x)=−2x+11\boxed{t(x) = -2x + 11}

Ergebnis

FrageAntwort
Ableitungsfunktion f′(x)f'(x)−2x+6-2x + 6
Tangente in P(1∣0)P(1 \mid 0)t(x)=4x−4t(x) = 4x - 4
Stelle mit Steigung −2-2x0=4x_0 = 4
Tangente in Q(4∣3)Q(4 \mid 3)t(x)=−2x+11t(x) = -2x + 11